Préparer sa kholle - Dérivabilité

Il est d'abord nécessaire que $f$ soit continue en $1$. On a $f(1)=1$ et la limite à droite de $f$ en $1$ vaut $a+b+1$. On doit donc avoir $a+b+1=1$, soit $b=-a$. Étudions maintenant la dérivabilité en $1$. La fonction $f$ coïncide avec la fonction $x\mapsto \sqrt x$ sur $[0,1]$. La dérivée de $x\mapsto \sqrt x$ étant égale à $x\mapsto \frac 1{2\sqrt x}$, $f$ admet une dérivée à gauche en $1$ qui vaut $1/2$. D'autre part, $f$ coïncide sur $[1,+\infty[$ avec la fonction $x\mapsto ax^2-ax+1$, donc la dérivée est $x\mapsto 2ax-a$. La fonction $f$ est donc dérivable à droite en $1$, de dérivée $a$.
Finalement, la fonction $f$ sera dérivable en $1$ si et seulement si les dérivées à droite et à gauche coïncident. Le seul moyen de définir $f$ de sorte que ce soit une fonction dérivable en $1$ est donc de poser $a=1/2$ et $b=-1/2$.

On écrit $f(x)=g(x)h(x)$ avec $g(x)=(x-a)^n$ et $h(x)=(x-b)^n$. On va appliquer la formule de Leibniz. Pour cela, on remarque que, pour $0\leq p\leq n$, on a : $$g^{(p)}(x)=n(n-1)\dots(n-p+1)(x-a)^{n-p}=\frac{n!}{(n-p)!}(x-a)^{n-p},$$ $$h^{(p)}(x)=\frac{n!}{(n-p)!}(x-b)^{n-p}.$$ La formule de Leibniz donne \begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)&=&\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}g^{(k)}(x)h^{(n-k)}(x)\\ &=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{n!}{(n-k)!}\frac{n!}{k!}(x-a)^{n-k}(x-b)^k\\ &=&n! \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2(x-a)^{n-k}(x-b)^k. \end{eqnarray*} Dans le cas où $a=b$, la formule devient $$f^{(n)}(x)=n! \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2 (x-a)^n.$$ D'autre part, on a $f(x)=(x-a)^{2n}$ et on peut dériver directement cela : $$f^{(n)}(x)=\frac{(2n)!}{n!}(x-a)^n=n!\binom{2n}{n}(x-a)^n.$$ En identifiant, on trouve $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}.$$