Préparer sa kholle - Calculs algébriques

On réduit au même dénominateur, et on trouve $$\frac a{k+1}+\frac b{k+3}=\frac{(a+b)k+(3a+b)}{(k+1)(k+3)}.$$ Par identification, on cherche à résoudre le système $$\left\{\begin{array}{rcl} a+b&=&0\\ 3a+b&=&1 \end{array}\right.$$ dont la seule solution est $a=1/2$, $b=-1/2$. On en déduit \begin{eqnarray*} S_n&=&\frac12\sum_{k=0}^n \frac 1{k+1}-\frac 12\sum_{k=0}^n \frac 1{k+3}\\ &=&\frac 12\sum_{k=0}^n \frac1{k+1}-\frac12\sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{k+1}\\ &=&\frac12\left(1+\frac 12-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)\\ &=&\frac{3n^2+11n+8}{4(n+2)(n+3)}. \end{eqnarray*}

Introduisons les polynômes $P(x)=(x+1)^n$, $Q(x)=(x-1)^n$, et cherchons le coefficient devant $x^n$ du produit $PQ$. On a d'une part, $$P(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k\textrm{ et }Q(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}.$$ Le coefficient devant $x^n$ du produit $PQ$ est donc $$\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}^2=S_n.$$ D'autre part, on a $$PQ(x)=(x^2-1)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k}x^{2k}.$$ On distingue alors deux cas. Si $n$ est impair, le coefficient devant $x^n$ est nul, et on a donc $S_n=0$. Si $n=2p$ est pair, alors on a $$S_{2p}=(-1)^p\binom{2p}{p}.$$ Pour calculer $T_n$, il faut penser à dériver. On a $$P(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k\textrm{ et }P'(x)=\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}x^{k-1}.$$ Si on cherche le coefficient devant $x^{n-1}$ du produit $P'P$, on trouve $$\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}\binom{n}{k}=T_n.$$ D'autre part, on a $$P'P(x)=n(x+1)^{2n-1}=n\sum_{k=0}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}x^k.$$ On en déduit que $$T_n=n\binom{2n-1}{n-1}.$$