Préparer sa kholle - Calculs algébriques
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $k\in\mathbb N$,
$$\frac 1{(k+1)(k+3)}=\frac a{k+1}+\frac b{k+3}.$$
En déduire la valeur de la somme
$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+3)}.$$
L'exercice standard
Enoncé
- Soient $m,k$ deux entiers naturels. Justifier que $$\binom{m+k}{m}=\binom{m+k+1}{m+1}-\binom{m+k}{m+1}.$$
- En déduire, pour tous entiers naturels $m,n\in\mathbb N^*$, la valeur de $$S=\sum_{k=0}^n \binom{m+k}{m}.$$
- En déduire celle de $$P=\sum_{k=0}^n \left(\prod_{p=1}^m(k+p)\right).$$
L'exercice pour les héros
Enoncé
Calculer les sommes suivantes :
$${S}_{n}=\sum^{n}_{k=0} (-1)^k\binom{n}{k}^{2}\textrm{ et }
{T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k\binom{n}{k}^{2}.$$