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Oraux de concours : réduction des endomorphismes

Mines - Telecom

Exercice 1 - Valeurs propres de $u\circ v$ et de $v\circ u$ (d'après Mines-Telecom) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soit $u,v\in\mathcal L(E)$. Soit $\lambda\in\mathbb K$ une valeur propre de $u\circ v.$ Démontrer que c'est aussi une valeur propre de $v\circ u.$

Indication

Corrigé

Centrale

Exercice 2 - Produit de Kronecker (d'après Oral Centrale) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. On définit leur produit de Kronecker $A\otimes B$ par $$A\otimes B= \begin{pmatrix} a_{1,1}B&\dots&a_{1,n}B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n,1}B&\dots&a_{n,n}B \end{pmatrix}. $$

Montrer que pour $A,B,C,D\in\mathcal M_n(\mathbb C),$ on a $$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD).$$
Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C).$ Démontrer que si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $A\otimes B$ l'est aussi et calculer $(A\otimes B)^{-1}$.
On note $\sim$ la relation de similitude. Démontrer que si $A\sim C$ et $B\sim D,$ alors $A\otimes B\sim C\otimes D.$
Démontrer que $\det(A\otimes B)=(\det(A)\det(B))^n$.
Démontrer que $\textrm{rg}(A\otimes B)=(\textrm{rg}(A))(\textrm{rg}(B)).$

Indication

Corrigé

Il suffit de faire le produit par blocs : $$ \begin{array}{rcl} \displaystyle \begin{pmatrix} a_{1,1}B&\dots&a_{1,n}B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n,1}B&\dots&a_{n,n}B. \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{1,1}D&\dots&c_{1,n}D\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ c_{n,1}D&\dots&c_{n,n}D. \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n a_{1,k}c_{k,1}BD&\dots&\sum_{k=1}^n a_{1,k}c_{k,n}BD\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sum_{k=1}^n a_{n,k}c_{k,1}BD&\dots&\sum_{k=1}^n a_{n,k}c_{k,n}BD \end{pmatrix}\\ &=&(AC)\otimes(BD). \end{array}$$
D'après la question précédente, il est facile de voir que si $A$ est inversible et si $B$ est inversible, alors $$(A\otimes B)(A^{-1}\otimes B^{-1})=(AA^{-1})\otimes (BB^{-1})=I_n\otimes I_n=I_{n^2}.$$ Ainsi, $A\otimes B$ est inversible et son inverse est $A^{-1}\otimes B^{-1}.$ Comme conséquence du résultat de la question 4, on pourra vérifier qu'il y a une réciproque à cette propriété : si $A\otimes B$ est inversible, alors $A$ est inversible et $B$ est inversible.
Si $A$ est semblable à $C$ et $B$ est semblable à $D,$ alors on peut écrire $A=PCP^{-1}$ et $B=QDQ^{-1}.$ On tire des précédentes questions : \begin{eqnarray*} (P\otimes Q)(C\otimes D)(P\otimes Q)^{-1}&=&(P\otimes Q)(C\otimes D)(P^{-1}\otimes Q^{-1})\\ &=&(PCP^{-1})\otimes (QDQ^{-1})\\ &=&A\otimes B. \end{eqnarray*} Ainsi, $A\otimes B$ est bien semblable à $C\otimes D.$
Il s'agit de la question difficile de l'exercice ! Il faut se laisser guider par l'enchaînement des questions et utiliser qu'il est plus facile de calculer le déterminant de matrices triangulaires supérieures. Or, $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ donc $A$ et $B$ sont trigonalisables : soit $C$ une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ telle que $A$ est semblable à $C$ et $D$ une matrice triangulaires supérieure dont les coefficients diagonaux sont notés $\mu_1,\dots,\mu_n$ telle que $B$ est semblable à $D.$ En particulier, $\det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$ puisque deux matrices semblables ont le même déterminant. Mais alors, il est facile de voir que $C\otimes D$ est aussi une matrice triangulaire supérieure, dont les coefficients diagonaux sont $$\lambda_1\mu_1,\dots,\lambda_1\mu_n,\lambda_2\mu_1,\dots,\lambda_2\mu_n,\lambda_3\mu_1,\dots,\lambda_n\mu_n.$$ Ainsi, \begin{eqnarray*} \det(A\otimes B)&=&\left(\prod_{j=1}^n \lambda_j\right)^n \cdot\left(\prod_{j=1}^n \mu_j\right)^n\\ &=&(\det(A)\det(B))^n. \end{eqnarray*}
Pour cette dernière question, on va raisonner en termes de matrices équivalentes. Rappelons que $A$ et $C$ sont équivalentes s'il existe $P,Q\in GL_n(\mathbb C)$ telles que $A=PCQ^{-1},$ et que deux matrices équivalentes (qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes) ont le même rang. Comme à la question 3., on démontre que si $A$ est équivalente à $C$ et que si $B$ est équivalente à $D$, alors $A\otimes B$ est équivalente à $C\otimes D.$
Notons $a$ le rang de $A$ et $b$ le rang de $B.$ Alors $A$ est équivalente à $J_a$ et $B$ est équivalente à $J_b,$ où $J_r$ est la matrice diagonale comportant $r$ fois le nombre $1$ sur les $r$ premiers éléments de la diagonale, et $0$ ailleurs. Alors $A\otimes B$ est équivalente à $J_a\otimes J_b.$ Il est alors facile de voir que $J_a\otimes J_b$ est une matrice diagonale dont la diagonale comporte $a\cdot b$ fois le nombre $1,$ et comporte des $0$ ailleurs. On a donc $$\textrm{rg}(A\otimes B)=\textrm{rg}(J_a\otimes J_n)=a\cdot b=\textrm{rg}(A)\times \textrm{rg}(B).$$

Réduction des endomorphismes

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