Math spé : Fonctions convexes
Ensembles convexes
Enoncé
Soit $C_1$, $C_2$ deux parties convexes d'un espace vectoriel réel $E$ et soit $s\in [0,1]$. On pose
$C=sC_1+(1-s)C_2=\{sx+(1-s)y;\ x\in C_1,\ y\in C_2\}$. Démontrer que $C$ est convexe.
Inégalités de convexité
Enoncé
- Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1,+\infty[$.
- En déduire que $\forall a,b>1,\ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.\ln b}$.
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi/2]$, on a
$$\frac{2}\pi x\leq \sin x\leq x.$$
Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n$ des réels strictement positifs. Prouver l'inégalité suivante :
$$\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq\frac{a_1+\dots+a_n}{n}.$$
Enoncé
Soit $f$ une fonction convexe de classe $C^1$ sur $[a,b]$. Montrer que
$$(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \int_a^b f(t)dt\leq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$$
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ telle que $f(a)=f(b)=0$. On note $M=\sup_{[a,b]}|f''|$
et
$$g(x)=f(x)-M\frac{(x-a)(b-x)}{2}\textrm{ }\quad\quad h(x)=f(x)+M\frac{(x-a)(b-x)}{2}.$$
- Justifier l'existence de $M$.
- Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave.
- Déterminer le signe de $g$ et de $h$ sur $[a,b]$. En déduire que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$|f(x)|\leq M\frac{(x-a)(b-x)}{2}.$$
Enoncé
- Démontrer que la fonction $f:x\mapsto \ln(1+e^x)$ est convexe sur $\mathbb R$.
- Établir que, pour tous $x_1,\dots,x_n\in ]0,+\infty[$, alors $$1+\left(\prod_{k=1}^n x_k\right)^{1/n}\leq \left(\prod_{k=1}^n (1+x_k)\right)^{1/n}.$$
- En déduire que pour tous $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in ]0,+\infty[$, alors $$\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}+\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)^{1/n}\leq \left(\prod_{k=1}^n (a_k+b_k)\right)^{1/n}.$$
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et convexe. Démontrer que
$$g\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b g(f(t))dt.$$
Exercice 9 - Inégalités de Hölder et de Minkowski [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y\in\mtr_+^*$, $p,q\in[1,+\infty[$ tels que $1/p+1/q=1$, et $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $2n$ réels strictement positifs.
- Montrer que $$xy\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q.$$
- On suppose dans cette question que $\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^q=1.$ Montrer que $\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq 1$.
- En déduire la splendide inégalité de Hölder : $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{1/q}.$$
- On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski : $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}.$$
- On définit pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}.$$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$.
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x>1$, on a
$${x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1\right)/2}\right).$$
Propriétés des fonctions convexes
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que $f$ et $g$ soient convexes, et $g$ est croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe.
Enoncé
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue convexe et strictement croissante. Étudier la convexité de $f^{-1}:f(I)\to I.$
Exercice 13 - Une fonction convexe est toujours continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$ convexe. Démontrer que $f$ est continue sur $I$. Le résultat subsiste-t-il si $I$ n'est plus supposé ouvert?
Enoncé
Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ et convexe. Démontrer que si $f$ est majorée, alors $f$ est constante.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe. Montrer que si $f$ admet un minimum local en $a$, alors $f$ admet un minimum global en $a$. Que peut-on dire si $f$ admet un maximum local en $a$?
Exercice 16 - Fonctions convexes sur un intervalle borné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction convexe sur l'intervalle borné $]a,b[$.
- Montrer que $f$ est minorée.
- $f$ est-elle nécessairement majorée?
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe croissante. Montrer que $f$ est constante
ou que $\lim_{+\infty}f=+\infty$.
Exercice 18 - Fonctions convexes admettant une asymptote [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe.
- On suppose que $\lim_{+\infty}f=0$. Montrer que $f\geq 0$.
- Montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe.
- On suppose que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote. Montrer que la courbe est (toujours) au-dessus de l'asymptote.
Divers
Exercice 19 - Fonctions logarithmiquement convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans tout l'exercice, $I$ et $J$ désignent des intervalles.
- Soit $f:I\to \mathbb R$ une fonction convexe croissante et soit $g:J\to I$ une fonction convexe. Démontrer que $f\circ g$ est convexe.
- Soit $f: I\to ]0,+\infty[$. On dit que $f$ est logarithmiquement convexe si $\ln f$ est convexe. Démontrer que si $f$ est logarithmiquement convexe, alors $f$ est convexe. La réciproque est-elle vraie?
- On suppose que pout tout $\alpha>0,$ $f^\alpha$ est convexe.
- Pour $t\in [0,1]$, $x,y\in I$ et $\alpha\geq 0,$ on pose $u(\alpha)=\exp\big(\alpha \ln f(tx+(1-t)y)\big)$ et $v(\alpha)=t\exp\big(\alpha \ln f(x)\big)+(1-t)\exp\big(\alpha \ln f(y)\big)$. Justifier que $u'(0)\leq v'(0)$.
- En déduire que $f$ est logarithmiquement convexe.
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtr$ une fonction continue telle que :
$$\forall(x,y)\in\mtr^2,\ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.$$
Prouver que $f$ est convexe.