Résumé de cours : fonctions vectorielles, arcs paramétrés
On n'hésitera pas à réviser les chapitres de Maths Sup portant sur les fonctions dérivables et sur l'intégration sur un segment.
Dans la suite, $E,F,G$ désignent des espaces vectoriels normés de dimension finie, et $I$ un intervalle de $\mathbb R$ non réduit à un point.
On dit que la fonction $f:I\to E$ est dérivable en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite quand $h$ tend vers $0$. Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$ et s'appelle vecteur dérivé de $f$ en $a$.
En particulier, comme pour les fonctions à valeurs réelles, une fonction $f:I\to E$ dérivable en $a\in I$ est continue en $a$.
Interprétation cinématique : lorsque la fonction $f$ représente le mouvement d'un point matériel au cours du temps, le vecteur $f'(t_0)$ représente le vecteur vitesse instantanée du point à l'instant $t_0$.
On dit que la fonction $f:I\to\mathbb E$ est dérivable à droite en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite quand $h$ tend vers $0^+$. On définit de même la dérivabilité à gauche, et on sait que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$.
On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. $f'$ s'appelle alors la fonction dérivée de $f$.
Comme pour les fonctions à valeurs réelles, une fonction $f:I\to E$ est constante si et seulement si elle est dérivable sur $I$ et sa dérivée est identiquement nulle sur $I$.
Exemple : le produit scalaire
En particulier, si $E$ est un espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle$, si $f,g:I\to E$ sont dérivables, alors la fonction $u:I\to \mathbb R,\ t\mapsto \langle f(t),g(t)\rangle$ est dérivable sur $I$ et $u'(t)=\langle f'(t),g(t)\rangle+\langle f(t),g'(t)\rangle$.
Exemple : le déterminant
Si $E$ est de dimension $p$, si $\mathcal B$ est une base de $E$ et si $f_1,\dots,f_p$ sont des fonctions dérivables définies sur $I$ à valeurs dans $E,$ alors $\det_{\mathcal B}(f_1,\dots,f_p)$ est dérivable sur $I$ et $$\big(\det_{\mathcal B}(f_1,\dots,f_p)\big)'=\det_{\mathcal B}(f_1',f_2,\dots,f_p)+\cdots+\det_{\mathcal B}(f_1,\dots,f_{p-1},f_p').$$
Soit $f:I\to\mathbb E$ une fonction dérivable. Sa dérivée $f'$ peut elle-même être dérivable. On appelle alors cette dérivée la dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$. En itérant ce procédé, on peut définir la dérivée $n$-ième de $f$, notée $f^{(n)}$.
On dit que $f$ est de classe $\mathcal C^n$ sur $I$ si elle admet une dérivée d'ordre $n$ notée $f^{(n)}$ et si cette dérivée est elle-même continue sur $I$. On dit que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $I$ si elle admet des dérivées successives de tout ordre.
La plupart des résultats valables pour la dérivée d'ordre 1 reste valable pour les dérivées d'ordre $n$. Par exemple :
- $f$ est de classe $\mathcal C^n$ si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées dans une base sont de classe $\mathcal C^n$, et on a $f^{(n)}=\sum_{i=1}^p f_i^{(n)}e_i$ où $(e_1,\dots,e_p)$ est une base de $E$ et $f_i$ les fonctions coordonnées de $f$ dans cette base.
- la combinaison linéaire de deux applications de classe $\mathcal C^n$ est de classe $\mathcal C^n$.
- Si $f:I\to E$ est de classe $\mathcal C^n$ et $L:E\to F$ est linéaire, alors $L\circ f$ est de classe $\mathcal C^n$ et $(L\circ f)^{(n)}=L\circ f^{(n)}$.
- Formule de Leibniz : soit $f:I\to E$ et $g:I\to F$ deux applications de classe $\mathcal C^n$ et soit $B:E\times F\to G$ une application bilinéaire. Alors $B(f,g)$ est de classe $\mathcal C^n$ et \begin{eqnarray*} \big(B(f,g)\big)^{(n)}&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B\big(f^{(n-k)},g^{(k)}\big) \end{eqnarray*}
- Composition : Si $J$ est un intervalle de $\mathbb R$, $\varphi:J\to I$ est de classe $\mathcal C^k$ avec $\varphi(J)\subset I$. Alors $f\circ \varphi:J\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^k.$
Dans ce paragraphe, on fixe $a<b$ deux réels et une base $(e_1,\dots,e_n)$ de l'espace vectoriel $E$.
Une fonction $f:[a,b]\to E$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $\sigma=(a_0,\dots,a_n)$ de $[a,b]$ telle que, pour tout $i\in\{0,\dots,p-1\},$
- la fonction $f$ est continue sur $]a_i,a_{i+1}[$;
- la fonction $f_{|]a_i,a_{i+1}[}$ admet des limites (finies) en $a_i$ et $a_{i+1}$.
Cela revient à dire que, pour tout $i\in\{0,\dots,p-1\},$ on peut prolonger la fonction $f_{|]a_i,a_{i+1}[}$ en une fonction continue sur $[a_i,a_{i+1}]$. Remarquons qu'une fonction est continue par morceaux sur $[a,b]$ si et seulement si toutes ses applications coordonnées le sont.
Soit $f=(f_1,\dots,f_n):[a,b]\to E$ une application continue par morceaux. On appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$ le vecteur noté $\int_a^b f(t)dt$ et défini par $$\int_a^b f(t)dt=\sum_{j=1}^n \left(\int_a^b f_j(t)dt\right) e_j.$$ Ce vecteur ne dépend pas de la base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ fixée au préalable.
L'intégration vectorielle vérifie les deux propriétés suivantes, bien connues de l'intégration scalaire :
- linéarité de l'intégrale : pour toutes fonctions $f,g:[a,b]\to E$ continues par morceaux et pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $$\int_a^b \big(\lambda f(t)+g(t)\big)dt=\lambda\int_a^b f(t)dt+\int_a^b g(t)dt.$$
- relation de Chasles : pour toute fonction $f:[a,b]\to E$ continue par morceaux et pour tout $c\in[a,b]$, on a $$\int_a^b f(t)dt=\int_a^c f(t)dt+\int_c^b f(t)dt.$$
Soit $f:I\to E$ continue. Une application $g:I\to E$ est une primitive de $f$ si $g$ est dérivable sur $I$ et $g'=f$.
Interprétation cinématique : Un mobile qui se déplace à une vitesse instantanée de norme inférieure ou égale à $v$ pendant un temps $T$ se trouve au maximum à une distance $vT$ de son point de départ.