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Résumé de cours : familles sommables

Ensembles dénombrables

Un ensemble $A$ est dénombrable s'il existe une bijection entre $A$ et $\mathbb N$.
Proposition :
- s'il existe une injection de $A$ dans $\mathbb N$, alors $A$ est fini ou dénombrable.
- si $A$ et $B$ sont dénombrables,alors $A\times B$ est dénombrable.
- si $I$ est un ensemble fini ou dénombrable, et si pour tout $i\in I$, $A_i$ est un ensemble fini ou dénombrable, alors $\bigcup_{i\in I}A_i$ est fini ou dénombrable.
Les ensembles suivants sont dénombrables : $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb N^2$, toute partie infinie de $\mathbb N$.
L'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ n'est pas dénombrable.

Familles sommables de réels positifs

$I$ désigne un ensemble dénombrable.

La famille de réels positifs $(u_i)_{i\in I}$ est dite sommable si l'ensemble des sommes $\sum_{i\in F}u_i$, où $F$ décrit l'ensemble des parties finies de $I$, est majoré. Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble s'appelle la somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$. Si la famille n'est pas sommable, on convient que sa somme vaut $+\infty$. Dans tous les cas, on note la somme $\sum_{i\in I}u_i$.
Proposition : Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une famille de réels positifs indexée par $\mathbb N$. Alors la famille $(u_n)$ est sommable si et seulement si la série $\sum_n u_n$ converge, et dans ce cas, les deux sommes coïncident.
Théorème (sommation par paquets): Soit $(I_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $I$ et soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. la famille $(u_i)$ est sommable;
2. pour tout entier $n\in\mathbb N$, la famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable et la série $\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right)$ converge.
Dans ce cas, on a $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right).$$

Familles sommables de nombres complexes

$I$ désigne un ensemble dénombrable.

La famille de nombres complexes $(u_i)_{i\in I}$ est dite sommable si la famille de réels positifs $(|u_i|)$ l'est.
Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de nombres réels. On note, pour tout $i\in I$, $$u_i^+=\max(u_i,0)\textrm{ et }u_i^-=\max(-u_i,0).$$ Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si $(u_i^+)_{i\in I}$ et $(u_i^-)_{i\in I}$ sont sommables. Dans ce cas, on appelle somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$ le réel $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_{i\in I}u_i^+-\sum_{i\in I}u_i^-.$$
Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de nombres complexes. Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si les deux suites de nombres réels $(\Re e(u_i))_{i\in I}$ et $(\Im m(u_i))_{i\in I}$ sont sommables. Dans ce cas, on appelle somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$ le nombre complexe $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_{i\in I}\Re e(u_i)+\text{i}\sum_{i\in I}\Im m(u_i).$$
Proposition : Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une famille de complexes indexée par $\mathbb N$. Alors la famille $(u_n)$ est sommable si et seulement si la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente. Dans ce cas, la somme de la famille sommable et la somme de la série coïncident.
Proposition : Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de complexes et soit $\sigma$ une bijection de $I$. Alors la famille $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si la famille $(u_{\sigma(i)})_{i\in I}$ est sommable. Dans ce cas, les deux sommes sont égales.
Théorème : Soit $(I_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $I$ et soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de complexes sommable. Alors pour tout entier $n\in\mathbb N$, la famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable et la série $\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right)$ est absolument convergente. De plus, on a $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right).$$
Propriétés : soit $(u_i)_{i\in I}$ et $(v_i)_{i\in I}$ deux familles sommables de nombres complexes. Alors
- linéarité : pour tout $\lambda\in\mathbb C$, $(\lambda u_i+v_i)_{i\in I}$ est sommable, et $$\sum_{i\in I}\big(\lambda u_i+v_i\big)=\lambda\sum_{i\in I}u_i+\sum_{i\in I}v_i.$$
- positivité : si $u_i\geq 0$, alors $\sum_i u_i\geq 0$ avec égalité si et seulement si, pour chaque $i\in I$, $u_i=0$.
- inégalité triangulaire : $$\left|\sum_{i\in I}u_i\right|\leq \sum_{i\in I}|u_i|.$$
- famille produit (théorème de Fubini) : la famille $(u_iv_j)_{(i,j)\in I\times I}$ est sommable et on a $$\sum_{(i,j)\in I\times J}u_iv_j=\left(\sum_{i\in I}u_i\right)\times\left(\sum_{j\in J}v_j\right).$$

Application aux séries

Proposition (permutation de l'ordre des termes): Soit $\sum u_n$ une série absolument convergente et soit $\sigma$ une bijection de $\mathbb N$. Alors $\sum u_{\sigma(n)}$ est absolument convergente, et on a $$\sum_{n\geq 0}u_n=\sum_{n\geq 0}u_{\sigma(n)}.$$

Théorème (permutation des sommes) : Soit $(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb N^2}$ une famille de nombres complexes. Les assertions suivantes sont équivalentes :

la famille $(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb N^2}$ est sommable;
pour tout entier $n$, la série $\sum_m |u_{m,n}|$ converge, et la série $\sum_n \left(\sum_{m=0}^{+\infty}|u_{m,n}|\right)$ est convergente.

Dans ce cas, on a égalité des sommes : $$\sum_{(m,n)\in\mathbb N^2}u_{m,n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{m=0}^{+\infty}u_{m,n}.$$

Soit $\sum_n a_n$ et $\sum_n b_n$ deux séries de nombres complexes. On appelle produit de Cauchy de ces deux séries la série de terme général $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.

Théorème (produit de Cauchy de deux séries) : Soit $\sum_n a_n$ et $\sum_n b_n$ deux séries de nombres complexes absolument convergentes et soit $\sum_n c_n$ la série produit de Cauchy de ces deux séries. Alors $\sum_n c_n$ est absolument convergente et on a $$\sum_{n\geq 0} c_n=\left(\sum_{n\geq 0} a_n\right)\times\left(\sum_{n\geq 0} b_n\right).$$

En particulier, si $z,z'\in\mathbb C,$ on a $$\exp(z+z')=\exp(z)\exp(z').$$