$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Suites et séries de fonction

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$
  1. Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
  2. Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.
  3. Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Équivalent d'une série de fonctions en l'infini - avec détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x>0,$ on considère $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}$ et $\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{1+n^2x^2}$
  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  2. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
  3. En déduire un équivalent simple de $f$ en $+\infty$
On rappelle que $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite croissante (ie $f_n\leq f_{n+1}$) de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose $$K_n(\veps)=\{x\in[a,b];\ |f(x)-f_n(x)|\geq \veps\}.$$
  1. Justifier que si pour tout $\veps>0$, il existe un entier $n$ tel que $K_n(\veps)=\varnothing$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.
  2. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé