Préparer sa kholle : espaces de probabilités

Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes $R_1$, $R_2$ et $R_3$ : les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent $20\%$ de la population totale pour la classe $R_1$, $50\%$ pour la classe $R_2$, et $30\%$ pour la classe $R_3$. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.

1. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?

Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.

1. Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
2. En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
3. Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?

On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".

1. Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
2. Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
3. Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
4. Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.