Exercices corrigés - Nombres irrationnels (et rationnels)

Démontrer que les réels suivants sont irrationels :

$\sqrt x+\sqrt y$ où $x$ et $y$ sont des rationnels positifs tels que $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont irrationnels.
$\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$.

Exercice 2

- Un irrationnel! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Sachant que si $p$ est premier alors $\sqrt p$ est irrationnel, montrer que $\sqrt 5+\sqrt[3]2$ est irrationnel.

Exercice 3

- Homographie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $x$ un nombre irrationnel et $(a,b,c,d)\in\mathbb Q^4$. Prouver que, si $ad-bc\neq 0$, alors $\frac{ax+b}{cx+d}$ est un nombre irrationnel.

Exercice 4

- Polynômes, rationnels et irrationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On souhaite démontrer qu'il n'existe pas de polynôme $P\in\mathbb R[X]$ de degré $n\geq 1$ tel que $P(x)\in\mathbb Q$ pour tout $x\in\mathbb R\backslash \mathbb Q$.

Traiter le cas $n=1$.
Traiter le cas général.

Supposons qu'il existe $P\in\mathbb R[X]$ de degré 1 tel que $P(x)\in\mathbb Q$ pour tout $x\in\mathbb R\backslash \mathbb Q.$ Puisque $\deg(P)=1$, on peut l'écrire $P(X)=aX+b$ avec $a,b\in \mathbb R$ et $a\neq 0.$ On a $P(\sqrt 2)\in\mathbb Q$, et donc $a\sqrt 2+b\in \mathbb Q$. On a aussi $P(-\sqrt 2)\in \mathbb Q$ et donc $-a\sqrt 2+b\in \mathbb Q$. En effectuant la somme de ces deux quantités, on obtient $2b\in \mathbb Q$ et finalement $b\in \mathbb Q.$ Ainsi, on obtient $ax\in\mathbb Q$ pour tout $x\in\mathbb R\backslash \mathbb Q.$ En particulier, $a\sqrt 6\in\mathbb Q$ et $a\sqrt 3\in\mathbb Q$ et donc en effectuant le quotient, $\sqrt 2\in \mathbb Q,$ une contradiction.
On peut donner une démonstration beaucoup plus rapide si on connait la notion d'ensemble dénombrable. Puisque $P$ est un polynôme de degré 1, c'est une fonction injective. Et il ne peut pas exister de fonction injective d'un ensemble qui n'est pas dénombrable, ici $\mathbb R\backslash\mathbb Q,$ dans un ensemble dénombrable (ici $\mathbb Q$).
Procédons par récurrence sur $n$. Notons, pour $n\geq 1$, $\mathcal P(n)$ la propriété suivante : $$\mathcal P(n):"\textrm{il n'existe pas de polynôme $P\in\mathbb R[X]$ de degré $n$ tel que }\forall x\in\mathbb R\backslash \mathbb Q,\ P(x)\in\mathbb Q."$$ La question précédente a prouvé que la propriété $\mathcal P(1)$ est vraie. Soit maintenant $n\geq 1$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie. Soit $P\in\mathbb R[X]$ de degré $n+1$, et supposons que $P(x)\in\mathbb Q$ pour tout $x\in\mathbb R\backslash\mathbb Q$. Posons $Q(X)=P(X+1)-P(X)$. Alors il est facile de vérifier que $Q$ est de degré $n$ (si $a_{n+1}X^{n+1}$ est le terme de plus haut degré de $P$, alors $(n+1)a_{n+1}X^{n}$ est le terme dominant de $Q$). De plus, pour tout $x\in\mathbb R\backslash \mathbb Q$, $x+1\in\mathbb R\backslash \mathbb Q$ et donc $P(x),P(x+1)\in\mathbb Q$. On en déduit que $Q(x)\in\mathbb Q$, une contradiction avec $\mathcal P(n)$.
Ainsi, par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.

Exercice 5

- Suite de rationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)$ une suite de nombres rationnels; on écrit chaque $u_n$ sous forme irréductible, $u_n=\frac{p_n}{q_n}$, avec $q_n>0$, et on suppose que $(u_n)$ converge vers $a$.

On suppose que la suite $(q_n)$ est bornée. Démontrer que $(u_n)$ est stationnaire.
On suppose que $a\notin \mathbb Q$. Démontrer que $(q_n)$ tend vers $+\infty$.