Exercices corrigés - Compacité : théorèmes d'Ascoli et de Stone-Weierstrass

Soit $x_0\in X$ et $\veps>0.$ Puisque $A$ est équicontinue en $x_0,$ il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in X,$ pour tout $f\in A,$ si $d(x,x_0)<\delta,$ alors $|f(x)-f(x_0)|<\veps.$ Soit maintenant $f\in \bar A$ et $(f_n)$ une suite de $A$ qui converge vers $f$ dans $\mathcal C(X,\mathbb R).$ En particulier, pour tout $y\in X,$ $(f_n(y))$ converge vers $f(y).$ Alors on sait que pour $n\in\mathbb N$ et $d(x,x_0)<\delta,$ on a $|f_n(x)-f_n(x_0)|<\veps.$ Il suffit de passer à la limite pour en déduire que $|f(x)-f(x_0)|\leq\veps.$

1. Soit $x\in X$ et $\veps>0.$ Par équicontinuité, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $n\in \mathbb N$ et tout $y\in X,$ $$d_X(x,y)<\delta\implies d_Y(f_n(x),f_n(y))<\veps.$$ Puisque $f_n(x)\to f(x)$ et $f_n(y)\to f(y)$, on peut passer à la limite et on trouve $$d_X(x,y)<\delta\implies d_Y(f(x),f(y))\leq \veps.$$ Ceci prouve la continuité de $f$ en $x.$
2. Soit $x\in X$ et $\veps>0.$ Par équicontinuité de $(f_n)$ et continuité de $f,$ il existe $\delta_x>0$ tel que, pour tout $n\in \mathbb N$ et tout $y\in X,$ $$d_X(x,y)<\delta_x\implies d_Y(f_n(x),f_n(y))<\veps\textrm{ et }d_Y(f(x),f(y))<\veps.$$ On sait que $X=\bigcup_{x\in X}B(x,\delta_x).$ Puisque $X$ est compact, on peut extraire de ce recouvrement ouvert un sous-recouvrement fini, et on écrit $$X=\bigcup_{i=1}^p B(x_i,\delta_i).$$ Pour chaque $i\in\{1,\dots,p\}$, la suite $(f_n(x_i))$ converge vers $f(x_i).$ Il existe donc un entier $N_i$ tel que, pour tout $n\geq N_i,$ on a $$d_Y(f_n(x_i),f(x_i))<\veps.$$ Posons $N=\max(N_1,\dots,N_p)$ et considérons $x\in X.$ Alors il existe $i\in\{1,\dots,p\}$ tel que $d_X(x,x_i)<\delta_i.$ Mais alors, par l'inégalité triangulaire, pour $n\geq N$ (en particulier, $n\geq N_i$), \begin{align*} d_Y(f_n(x),f(x))&\leq d_Y(f_n(x),f_n(x_i))+d_Y(f_n(x_i),f(x_i))+d_Y(f(x_i),f(x_i))\\ &\leq 3\veps. \end{align*} Ceci prouve bien la convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f.$

Il suffit d'écrire les quantificateurs dans le bon sens! Soit $\veps>0$ et $x_0\in\mathbb R.$ Puisque $B$ est uniformément équicontinue, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $g\in B,$ pour tous $u,v\in\mathbb R$ avec $|u-v|<\delta,$ alors $|g(u)-g(v)|<\veps.$
Ce $\delta$ fixé, puisque $A$ est équicontinue en $x_0,$ il existe $\eta>0$ tel que, pour tout $f\in A,$ pour tout $x\in \mathbb R$ avec $|x-x_0|<\eta,$ alors $|f(x)-f(x_0)|<\delta.$
En mettent ceci bout à bout, on a prouvé que, pour tous $f,g\in A\times B,$ pour tout $x\in\mathbb R$ avec $|x-x_0|<\eta,$ alors $$|g\circ f(x)-g\circ f(x_0)|<\veps,$$ ce qui prouve bien que $B\circ A$ est équicontinue.
Le résultat devient faux si on ne suppose pas que $B$ est uniformément équicontinue. Choisissons $B=\{g\}$ où $g$ est la fonction définie par $g(x)=x^2$ et choisissons $A=\{f_a:\ a\in\mathbb R\},$ où $f_a(x)=x+a.$ Le choix de $B$ vient du fait que la fonction $g$ est continue sans être uniformément continue. Démontrons que $B\circ A$ n'est pas équicontinue en $0.$ Si c'était le cas, pour $\veps=1,$ il existerait $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$ avec $|x|\leq \delta,$ pour tout $a\in\mathbb R,$ on aurait $$|f_a(x)-f_a(0)|\leq 1.$$ En particulier, pour $x=\delta,$ on trouverait $$\delta^2+2a\delta\leq 1.$$ C'est impossible si on choisit $a>1/\delta.$

1. Par symétrie, on peut supposer que $s\leq t.$ Alors on a $$V(f)(s)-V(f)(t)=\int_s^t f(u)du=\int_s^t f(u)\times 1du.$$ D'après l'inégalité de Hölder, on a \begin{align*} |V(f)(s)-V(f)(t)|&\leq \left(\int_s^t |f(u)|^pdu\right)^{1/p}\left(\int_s^t 1^qdu\right)^{1/q}\\ &\leq \left(\int_0^1 |f(u)|^pdu\right)^{1/p}(t-s)^{1/q}\\ &\leq \|f\|_p (t-s)^{1/q}. \end{align*}
2. On va appliquer le théorème d'Ascoli. Il suffit de vérifier que
   • $V(B)$ est bornée : en appliquant l'inégalité précédente à $t=0,$ on a pour tout $s\in[0,1]$ et pour tout $f\in B,$ $$|V(f)(s)|=|V(f)(s)-V(f)(0)|\leq |s|^{1/q}\|f\|_p\leq 1.$$
   • $V(B)$ est équicontinue : soit $t\in[0,1]$ et $f\in V(B)$. Soit $\veps>0.$ Alors pour tout $s\in[0,1]$, on sait que $$|V(f)(s)-V(f)(t)|\leq |s-t|^{1/q}.$$ Posons $\delta=\veps^q.$ Si $|s-t|<\delta,$ alors $$|V(f)(s)-V(f)(t)|\leq \delta^{1/q}=\veps.$$ Ceci prouve bien l'équicontinuité de $V(B)$.
   Par le théorème d'Ascoli, $V(B)$ est une partie équicontinue de $\mathcal C([0,1],\mathbb R)$.

On commence par remarquer que $\|f_n\|_\infty\leq 1,$ et donc que la suite $(f_n)$ est bornée. De plus, la suite $(f_n)$ est équicontinue : en effet, pour tout $x\in\mathbb R$ et pour tout $n\geq 1,$ $$f_n'(x)=\frac{-2(x-n)}{(1+(x-n)^2)^2}.$$ Or la fonction $y\mapsto \frac{y}{(1+y^2)^2}$ est bornée sur $\mathbb R$, disons par $M>0$ (car c'est une fonction continue qui tend vers $0$ en l'infini). Donc $$|f_n'(x)|\leq 2M$$ et toutes les fonctions $f_n$ sont $2M$-lipschitziennes. D'autre part, la suite $(f_n)$ n'admet pas de sous-suite qui converge uniformément sur $\mathbb R.$ En effet, la suite $(f_n)$ converge simplement vers $0$ sur $\mathbb R$ et donc si une sous-suite admettait une limite uniforme, cette limite devrait être la fonction nulle. Mais $f_n(n)=1$ et donc $\|f_n-0\|_\infty\geq 1$ ce qui empêche la convergence uniforme.

On va démontrer que $F$ est une partie compacte de $\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ en utilisant le théorème d'Ascoli. D'une part, c'est une partie équicontinue, puisque toutes les fonctions de $F$ sont $2$-lipschitziennes. De plus, pour tout $x\in [0,1]$ et pour tout $f\in F,$ $$|f(x)|\leq |f(x)-f(0)|\leq 2|x|\leq 2.$$ Ainsi, pour tout $x\in[0,1]$, $\{f(x):\ f\in A\}$ est une partie bornée de $\mathbb R$ et d'après le théorème d'Ascoli, $F$ est une partie relativement compacte de $\mathcal C([0,1],\mathbb R).$ De plus, c'est une partie fermée : si $(f_n)$ est une suite de fonctions de $F$ qui converge uniformément vers $f$, alors, pour tous $x,y\in[0,1],$ $$|f(x)-f(y)|=\lim_n |f_n(x)-f_n(y)|\leq 2|x-y|$$ et $$f(0)=\lim_n f_n(0)=0,\quad f(1)=\lim_n f_n(1)=0.$$ Ainsi, $f\in F.$ On sait enfin que la forme linéaire $\phi\in\mathcal C([0,1],\mathbb R)\mapsto \int_0^1 \phi$ est continue, puisque $$\left|\int_0^1 \phi\right|\leq \|\phi\|_\infty.$$ Par compacité de $F,$ elle est bornée sur $F$ et atteint sa borne supérieure.

Nous allons démontrer que $T(B_E)$ est relativement compact en utilisant le théorème d'Ascoli. D'une part, pour tout $x\in X$ et pour tout $u\in B_E,$ $$|Tu(x)|\leq \int_ X |K(x,y)| \cdot |u(y)| d\mu(y) \leq \|K\|_\infty \|u\|_\infty \mu(Y)$$ puisque $K$ et $u$, fonctions continues sur les compacts respectifs $X\times X$ et $X$, sont bornées. Ainsi, pour tout $x\in E,$ $\{Tu(x):\ u\in B_E\}$ est borné.
D'autre part, soit $x\in X$, $\veps>0$ et $u\in B_E.$ Alors, pour tout $x'\in X,$ \begin{align*} |Tu(x)-Tu(x')|&\leq \int_X |K(x,y)-K(x',y)|\cdot \|u\|_\infty d\mu(y). \end{align*} Or, $K$ est uniformément continue sur la partie compacte $X\times X$. Ainsi, il existe $\delta>0$ (qui dépend uniquement de $\veps$) tel que $$d(x,x')<\delta\implies |K(x,y)-K(x',y)|<\veps.$$ On en conclut que, si $d(x,x')<\delta,$ alors $$|Tu(x)-Tu(x')|\leq \veps \|u\|_\infty \mu(Y)\leq \veps \mu(Y).$$ Ceci prouve l'équicontinuité de $\{Tu:\ u\in B_E\}.$
Finalement, par le théorème d'Ascoli, $\{Tu:\ u\in B_E\}$ est relativement compact et donc $T$ est compact.