Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - étude pratique

Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. On justifiera les réponses :

Soit $(u_n)$ une suite croissante et $\ell\in\mathbb R$. Alors les propositions "si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $u_n\leq \ell$ quelque soit $n\in\mathbb N$ et "s'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $u_{n_0}>\ell$, alors $(u_n)$ ne converge pas vers $\ell$" sont équivalentes.
Si $(u_n)$ est une suite géométrique non-nulle de raison $q\neq 0$, alors $\left(\frac 1{u_n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1q$.
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite à termes positifs convergeant vers $0$. Alors, $(u_n)$ est décroissante à partir d’un certain rang.
Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est croissante et que $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$, alors $(u_n)$ est croissante.
Toute suite non-majorée tend vers $+\infty$.

Exercice 2

- Des exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Donner un exemple dans chacune des situations suivantes :

une suite décroissante positive dont le terme général ne tend pas vers 0.
une suite bornée non convergente.
une suite positive non bornée ne tendant pas vers $+\infty$.
une suite non monotone qui tend vers 0.
une suite positive qui tend vers 0 et qui n'est pas décroissante.

Exercice 3

- Nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin(n)+3\cos\left(n^2\right)}{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{2n+(-1)^n}{5n+(-1)^{n+1}}\\[0.1cm] \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{n^3+5n}{4n^2+\sin(n)+\ln(n)}&&\displaystyle \mathbf 4.\ u_n= \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\\[0.1cm] \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=3^ne^{-3n}.&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}. \end{array}$$

Exercice 4

- Nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\ln\left(2n^2-n\right)-\ln(3n+1)&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n},\ a,b\in ]0,+\infty[&& \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{\ln(n+e^n)}{n}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^2)}. \end{array} $$

On met en facteur le terme dominant dans chaque logarithme, de sorte que \begin{eqnarray*} u_n&=&\ln\left(2n^2\left(1-\frac{1}{2n}\right)\right)-\ln\left(3n\left(1+\frac{1}{3n}\right)\right)\\ &=&2\ln n+\ln 2+\ln\left(1-\frac{1}{2n}\right)-\ln(n)-\ln(3)-\ln\left(1+\frac1{3n}\right)\\ &=&\ln n+\ln 2-\ln 3+v_n \end{eqnarray*} où la suite $(v_n)$ tend vers 0. On en déduit que $u_n$ tend vers $+\infty$.
On multiplie au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée, de sorte que $$u_n=\frac{2n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}.$$ On met encore en facteur, dans chaque racine carrée du dénominateur, le terme dominant (en $n^2$), et on trouve $$u_n=\frac{2}{\sqrt{1+\frac 1n+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac 1n+\frac{1}{n^2}}}.$$ Or, $\sqrt{1+\frac 1n+\frac{1}{n^2}}$ tend vers 1 et $\sqrt{1-\frac 1n+\frac{1}{n^2}}$ tend également vers 1. On en déduit que $(u_n)$ converge vers 1.
Si $a=b$, alors $u_n=0$ pour tout $n$, et donc $(u_n)$ converge vers 0. Si $a>b$, alors $a^n$ est prépondérant sur $b^n$ au sens que $$\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}a\right)^n\to 0$$ puisque $|b/a|<1$. On factorise donc par $a^n$ au numérateur et au dénominateur : $$u_n=\frac{a^n\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)}{a^n\left(1+\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)}=\frac{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n}.$$ On en déduit que dans ce cas, $(u_n)$ converge vers 1. Si $b>a$, on factorise cette fois par $b^n$ et c'est $(a/b)^n$ qui converge vers 0. On trouve : $$u_n=\frac{-1+\left(\frac{a}{b}\right)^n}{1+\left(\frac ab\right)^n}.$$ $(u_n)$ converge donc vers $-1$ dans ce cas.
On factorise par $e^n$ dans le logarithme. On obtient \begin{eqnarray*} u_n&=&\frac{\ln\big(e^n(1+ne^{-n})\big)}{n}\\ &=&\frac{n+\ln(1+ne^{-n})}{n}. \end{eqnarray*} D'autre part, $ne^{-n}$ tend vers 0 (par exemple, on peut écrire $ne^{-n}=\frac{1}{\frac{e^n}n}$ et utiliser la comparaison des fonctions exponentielle et polynôme au voisinage de l'infini). Puisque la fonction $\ln$ est continue en 1 et $\ln(1)=0$, on en déduit que $\ln(1+ne^{-n})$ tend vers 0. Il vient $\ln(1+ne^{-n})/n$ tend vers 0, et donc la suite $(u_n)$ converge vers 1.
On factorise par le terme dominant dans chaque logarithme. On en déduit \begin{eqnarray*} u_n&=&\frac{\ln(\sqrt n)+\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)}{\ln(n^2)+\ln\left(1+n^{-2}\right)}\\ &=&\frac{\frac 12\ln n+\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)}{2\ln(n)+\ln\left(1+n^{-2}\right)}\\ &=&\frac{\frac 12+\frac{\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)}{\ln n}}{2+\frac{\ln\left(1+n^{-2}\right)}{\ln n}}. \end{eqnarray*} Puisque $\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)$, $\ln(1+n^{-2})$ tendent vers 0, $(u_n)$ converge vers $\frac 14$.

Exercice 5

- Nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}{n^2}&&\displaystyle \mathbf 2. u_n=e^{-\sqrt n}\ln(1+n+e^n)\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\sqrt n\ln\left(\frac{\sqrt n+1}{\sqrt n-1}\right) \end{array} $$

Exercice 6

- Un résultat de croissance comparée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Le but de l'exercice est de démontrer un résultat de croissance comparée : la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par $u_n=\frac{n}{2^n}$ tend vers $0$. On note, pour $n\geq 1$, $v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Démontrer que $(v_n)$ converge vers $1/2$.
En déduire qu'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq \frac 34.$$
Démontrer que, pour tout $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq \left(\frac 34\right)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
En déduire que $(u_n)$ tend vers $0$.

Exercice 7

- Nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}n&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n^\alpha}\textrm{ en fonction de }x,\alpha\in\mathbb R\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n k! \end{array}$$

Exercice 8

- Un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $$u_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On pose $v_n=\ln(u_n)$.

Montrer, pour tout $x\geq 0$, l'inégalité $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$$
En déduire que $$\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq v_n\leq \frac{n+1}{2n}.$$ On admettra que $$\sum_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
Montrer que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.

Posons $f(x)=x-\ln(1+x)$. On a $f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\geq 0$ pour $x\geq 0$. La fonction $f$ est donc croissante sur $[0,+\infty[$. En particulier, on a $f(x)\geq f(0)=0$, ce qui donne la première inégalité $\ln(1+x)\leq x$. De même, on pose $g(x)=(x-x^2/2)-\ln(1+x)$. $g$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et on a $g'(x)=1-x-\frac{1}{1+x}=\frac{-x^2}{1+x}\leq 0$ pour $x\geq 0$. La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0,+\infty[$ et on a $g(x)\leq g(0)=0$ pour $x\geq 0$, ce qui donne l'autre inégalité $x-x^2/2\leq \ln(1+x)$.
On a, puisque $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, $$v_n=\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)+\ln\left(1+\frac{2}{n^2}\right)+\dots+\ln\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On utilise ensuite l'inégalité $\ln(1+x)\leq x$ pour trouver \begin{eqnarray*} v_n&\leq&\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2}\\ &\leq &\frac{1}{n^2}(1+2+...+n)\\ &\leq& \frac{1}{n^2}\times\frac{n(n+1)}{2}\\ &\leq&\frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*} où on a utilisé $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}.$ Pour l'autre inégalité, on procède de façon identique en utilisant cette fois $\ln(1+x)\geq x-x^2/2$. On trouve \begin{eqnarray*} v_n&\geq&\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2} -\left(\frac{1^2}{2n^4}+\frac{2^2}{2n^4}+\dots+\frac{n^2}{2n^4}\right) \end{eqnarray*} La première partie a déjà été calculée auparavant. Pour la seconde, on utilise le rappel de l'énoncé. \begin{eqnarray*} v_n&\geq& \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2n^4}\left(1^2+2^2+\dots+n^2\right)\\ &\geq& \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2n^4}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &\geq&\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}. \end{eqnarray*}
On sait que $(n+1)/(2n)\to 1/2$ tandis que $(n+1)(2n+1)/(12n^3)\to 0$ (quotient d'un polynôme de degré 2 et d'un polynôme de degré 3). $(v_n)$ est donc encadré par deux suites qui tendent toutes deux vers $1/2$. Par le théorème d'encadrement des limites (ou théorème des gendarmes), $(v_n)$ converge elle-même vers $1/2$.
On a $u_n=\exp(v_n)$. Par le théorème de composition des limites, $(u_n)$ est convergente, de limite $\exp(1/2)$.

Exercice 9

- Deux exemples avec des suites trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Montrer que la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\cos\left(\left(n+\frac1n\right)\pi\right)$ est divergente.
1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair.
2. En déduire que la suite $\left(\sin\left(\left(3+\sqrt 5\right)^n\pi\right)\right)$ converge et déterminer sa limite.

Exercice 10

- Une suite définie comme étant la racine d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour $n\geq 1$, on considère le polynôme $P_n(X)=X^n+X^{n-1}+\dots+X-1$.

Démontrer que $P_n$ possède une seule racine dans $\mathbb R_+$, que l'on note $u_n$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq\frac 12$.
Soit $\rho\in ]1/2,1[$. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}P_n(\rho)>0$.
Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\frac 12$.

Exercice 11

- Une double limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Comparer $\lim_{n\to+\infty}\left(\lim_{m\to+\infty}\left(1+\frac 1m\right)^n\right)$ et $\lim_{m\to+\infty}\left(\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac 1m\right)^n\right)$.

Exercice 12

- Cosinus et Sinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $\theta\in\mathbb R$ tel que $\theta$ n'est pas congru à 0 modulo $\pi$. On pose $u_n=\cos(n\theta)$ et $v_n=\sin(n\theta)$.

Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $(v_n)$ converge.
En déduire que les deux suites sont divergentes.

Supposons que $(u_n)$ converge, disons vers $a$. Alors, on a $$\cos\big((n+1)\theta\big)=\cos(n\theta)\cos(\theta)-\sin(n\theta)\sin(\theta).$$ Puisque $\sin(\theta)\neq 0$, on voit que $(v_n)$ est aussi convergente, et que sa limite notée $b$ vérifie $$a=a\cos(\theta)-b\sin(\theta).$$ Réciproquement, si $(v_n)$ converge vers $b$, on écrit cette fois $$\sin\big((n+1)\theta\big)=\sin(n\theta)\cos(\theta)+\cos(n\theta)\sin(\theta).$$ Toujours puisque $\sin(\theta)\neq 0$, on en déduit que $(u_n)$ converge vers $a$, avec $$b=b\cos(\theta)+a\sin(\theta).$$
Remarquons que le théorème de Pythagore nous donne une troisième relation concernant $a$ et $b$ : $$a^2+b^2=1.$$ De ce fait, on peut en déduire deux façons pour calculer $a$ et $b$. Utilisant d'abord la relation $a=a\cos(\theta)-b\sin(\theta)$ qui entraîne modulo les formules $\sin(\theta)=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ et $1-\cos(\theta)=2\sin^2(\theta/2)$ $$a=-b\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)},$$ on trouve en injectant cette dernière relation dans $a^2+b^2=1$ $$b^2\frac{\cos^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2)}+b^2=1\implies b=\pm\sin(\theta/2)$$ et par suite $a=\pm\cos(\theta/2)$. Symétriquement, on a en utilisant toujours le théorème de Pythagore, mais cette fois la seconde relation $b=b\cos(\theta)+a\sin(\theta)$, $a=\pm\sin(\theta/2)$ et $b=\pm\cos(\theta/2)$.
On distingue alors plusieurs cas :
- ou bien on a $a=\cos(\theta/2)$ et $a=\sin(\theta/2)$, ou $a=-\cos(\theta/2)$ et $a=-\sin(\theta/2)$. Dans ce cas, on doit avoir $\sin(\theta/2)=\cos(\theta/2)$. Les solutions sont $\theta/2=\pi/4\ [2\pi]$ et $\theta/2=5\pi/4\ [2\pi]$, ou encore $\theta=\pi/2\ [4\pi]$ et $\theta=5\pi/2\ [4\pi]$. Dans les deux cas, on constate facilement que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent.
- ou bien on a $a=\cos(\theta/2)$ et $a=-\sin(\theta/2)$, ou $a=-\cos(\theta/2)$ et $b=\sin(\theta/2)$. Dans ce cas, on doit avoir $\sin(\theta/2)=-\cos(\theta/2)$, dont les solutions sont $\theta /2=-\pi/4\ [2\pi]$ et $\theta=3\pi/4\ [2\pi]$, soit encore $\theta=-\pi/2\ [2\pi]$ ou $\theta=3\pi/2\ [2\pi]$. Là encore, on constate que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes.
En conclusion, on vient de prouver que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites divergentes dès que $\theta$ n'est pas congru à 0 modulo $\pi$.

Exercice 13

- Radicaux itérés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\dots+\sqrt 1}}}$.

Écrire une formule de récurrence liant $u_{n-1}$ et $u_n$.
Montrer que la suite $\left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$ est bornée.
Déterminer sa limite.

Exercice 14

- A partir d'inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Etudier la convergence d'une suite $u$ vérifiant $u_0>0$ et, pour tout $n$, $$0<u_{n+1}\leq 2-\frac{1}{u_n}.$$

Exercice 15

- Un petit problème... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x-x^2$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

Etudier les variations de $f$.
Montrer que, pour tout $n$, $0<u_n<\frac{1}{n+1}$.
En déduire que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=nu_n$, $n\geq 0$, est croissante.
Montrer que la suite $(v_n)$ admet une limite $l$ appartenant à $]0,1]$ (on ne demande pas de calculer $l$ pour le moment).
On pose $w_n=n(v_{n+1}-v_n)$. Montrer que $(w_n)$ converge vers $l(1-l)$.
Soit $(t_n)$ une autre suite telle qu'il existe $n_0\geq 1$ vérifiant que, pour $n\geq n_0$, on a $$t_{n+1}-t_n\geq \frac an,$$ où $a>0$. Montrer que $t_{2n}-t_n\geq\frac a2$ pour $n\geq n_0$, puis que $(t_n)$ est divergente.
Montrer que si $l\neq 1$, la suite $(v_n)$ vérifie les mêmes conditions que la suite $(t_n)$ de la question précédente. En déduire la valeur de $l$.

On dérive $f$ : $f'(x)=1-2x$, fonction qui s'annule en 1/2, positive sur $]-\infty,1/2]$, négative sur $[1/2,+\infty[$. Ainsi, $f$ est croissante sur $]-\infty,1/2[$, décroissante sur $]1/2,+\infty[$ et $f(1/2)=1/4$.
On remarque que le résultat est vrai pour $n=0$. Il est aussi vrai pour $n=1$. En effet, si $u_0\in]0,1[$, d'après l'étude des variations de $f$, $u_1=f(u_0)$ est dans l'intervalle $]0,1/4[$. Supposons le résultat vrai au rang $n$ et prouvons le au rang $n+1$. Puisque $u_n\in\left]0,\frac{1}{n+1}\right[\subset \left]0,\frac12\right[$ et que la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle, on obtient : $$0<u_n<\frac1{n+1}\implies f(0)=0<f(u_n)=u_{n+1}<f\left(\frac1{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}.$$ Pour conclure, on remarque que $$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)^2}=-\frac{1}{(n+1)^2(n+2)}<0.$$ Ainsi, on a bien $$0<u_n<\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}\leq\frac{1}{n+2}.$$
On calcule $v_{n+1}-v_n$, et on trouve \begin{eqnarray*} v_{n+1}-v_n&=&(n+1)u_{n+1}-nu_{n}\\ &=&(n+1)(u_n-u_n^2)-nu_n\\ &=&u_n-(n+1)u_n^2\\ &=&u_n(1-(n+1)u_n). \end{eqnarray*} Or, comme $0<u_n<\frac1{n+1}$, on a $u_n>0$ et $1-(n+1)u_n>0$, et donc $v_{n+1}-v_n\geq 0$ : la suite $(v_n)$ est croissante.
Puisque $(v_n)$ est croissante, il suffit de prouver qu'elle est majorée pour démontrer qu'elle est convergente. Mais $v_n\leq \frac{n}{n+1}$. Ainsi, $v_n\leq 1$ et $(v_n)$ est convergente vers une limite notée $l$. De plus, pour tout $n$, on a $v_0\leq v_n\leq 1$. Par passage à la limite, on en déduit que $v_0\leq l\leq 1$. Il suffit enfin de remarquer que $v_0>0$.
On va exprimer $w_n$ en fonction de $v_n$ et de $u_n$ puisqu'on sait que ces deux suites convergent. On a \begin{eqnarray*} w_n&=&n(v_{n+1}-v_{n})\\ &=&nu_n(1-(n+1)u_n) \end{eqnarray*} d'après le calcul fait à la question précédente, soit $$w_n=v_n(1-nu_n-u_n)=v_n(1-v_n-u_n).$$ Puisque la suite $(u_n)$ converge vers 0, que la suite $(v_n)$ converge vers $l$, on en déduit, par les opérations usuelles sur les suites convergentes, que la suite $(w_n)$ est convergente vers $l(1-l-0)=l(1-l)$.
Pour $n\geq n_0$, on écrit \begin{eqnarray*} t_{2n}-t_n&=&(t_{2n}-t_{2n-1})+(t_{2n-1}-t_{2n-2})+\dots+(t_{n+1}-t_n)\\ &\geq&\frac{a}{2n-1}+\frac{a}{2n-2}+\dots+\frac{a}n\\ &\geq&\frac{a}{2n}+\dots+\frac a{2n}\\ &\geq&\frac a2. \end{eqnarray*} Si la suite $(t_n)$ était convergente, de limite $\ell_1$, la suite $(t_{2n})$ serait convergente de même limite, et on aurait $$0=\ell_1-\ell_1\geq \frac a2>0,$$ ce qui est absurde. Ainsi, la suite $(t_n)$ est divergente.
Supposons $l\neq 1$. Alors $l(1-l)$ est strictement positif (rappelons que $l\in]0,1]$). Posons $a=l(1-l)/2$ de sorte que $a<l(1-l)$. Puisque $(w_n)$ converge vers $l(1-l)>a>0$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$w_n>a\implies v_{n+1}-v_n\geq\frac{a}{n}.$$ Ainsi, par la question précédente, on sait que $(v_n)$ tend vers $+\infty$. Ce n'est pas le cas. L'hypothèse de départ est donc fausse, et $(v_n)$ converge vers 1.

Exercice 16

- Somme télescopique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{k^2-1}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k+1}.$$
En déduire la limite de la suite $$u_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2-1}.$$
Sur le même modèle, déterminer la limite de la suite $$v_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k^2+3k+2}.$$

Exercice 17

- Par encadrement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$

Exercice 18

- Une série de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$ En déduire le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}.$$

Exercice 19

- Une suite monotone [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{1}{(n+1)^2}\leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\leq 2-\frac 1n$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

Exercice 20

- Somme harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on pose $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$H_{2n}-H_n\geq\frac 12.$$ En déduire que $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty.$

Exercice 21

- Somme à paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $\alpha>0$ et $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^\alpha+k^\alpha}$.

Démontrer que si $\alpha > 1$ alors $u_n \to 0$.
Démontrer que si $\alpha<1$, alors $u_n\to+ \infty$.
Démontrer que si $\alpha=1$, la suite est monotone et convergente.
Démontrer que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln (1 + x) \leq x \leq - \ln (1 - x)$ .
En déduire que $u_n\to\ln 2$.

Exercice 22

- Suites adjacentes en Terminale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si la suite $(u_n)$ est croissante, la suite $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0$.

Question préliminaire : soit $(x_n)$ une suite décroissante de réels tels que $(x_n)$ converge vers 0. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $x_n\geq 0$.
On fixe désormais $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes. On pose, pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=v_n-u_n$. Justifier que la suite $(w_n)$ est décroissante.
En déduire que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $w_n\geq 0$.
Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite.

Exercice 23

- Exemple de suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ données ci-dessous forment des couples de suites adjacentes. $$ \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}\textrm{ et }v_n=u_n+\frac 1n\\ \mathbf{2.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+n}\textrm{ et }v_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k. \end{array}$$

Exercice 24

- Suites adjacentes et récurrence croisée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs avec $a<b$. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et, pour $n\geq 0$, $$u_{n + 1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\quad\text{et}\quad v_{n + 1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.$$

Déterminer $u_1$ et $v_1$.
Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a $$u_n\leq u_{n+1}\leq v_{n+1}\leq v_n.$$
Démontrer que $(v_n-u_n)$ est une suite géométrique de raison $1/3$. En déduire que $(v_n-u_n)$ tend vers $0$.
Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite.
Démontrer que la suite $(u_n+v_n)$ est une suite constante.
En déduire la limite des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Exercice 25

- Série alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$. Etudier les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. Quelle est la nature de $(u_n)$?

Exercice 26

- Irrationalité de $e$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
Écrire une fonction $\verb+approx(ecart)+$ sous Python qui renvoie un encadrement de $e$ avec une amplitude inférieure à ecart.

Exercice 27

- Un équivalent de $\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étant donné $n\in\mathbb N^*$, on pose $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}-2\sqrt n\textrm{ et }v_n=\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}.$$

Calculer $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$.
Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont monotones.
En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ avec $\ell\leq -1$.
Quelle est la limite de $\frac{\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}}{2\sqrt n}$?

Exercice 28

- Moyenne arithmético-géométrique et suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $0\leq b\leq a$ et $(u_n)$, $(v_n)$ les deux suites définies par $$u_0=a,\ v_0=b,\ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\ v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}.$$ On admettra que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien définies avec $u_n\geq 0$ et $v_n\geq 0$ pour tout entier $n.$

Démontrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$, on a $$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2.$$
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq v_n$, $u_n\geq u_{n+1}$ et $v_{n+1}\geq v_n$.
Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a $0\leq u_{n+1}-v_{n+1}\leq \frac 12(u_n-v_n)$.
Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M(a,b)$.
Écrire une fonction Python $\verb+moyenne(a,b,ecart)+$ qui donne un encadrement de $M(a,b)$, avec une amplitude inférieure ou égale à $\verb=ecart=$.

Exercice 29

- Une preuve du théorème des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Le but de l'exercice est de démontrer le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0$, alors la suite $(S_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$$ est convergente. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$.

Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.
On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Donner un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$.
Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$.
1. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$
2. On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0.
3. Conclure.

Exercice 30

- Calculs effectifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $u_n=\frac{n+1}{n}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ et $v_n=\frac{n-1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$. Calculer $\limsup_{n\to+\infty}u_n$, $\liminf_{n\to+\infty}u_n$, $\limsup_{n\to+\infty}v_n$, $\liminf_{n\to+\infty}v_n$, $\limsup_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$, $\liminf_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$.