Exercices corrigés - Séries numériques : exercices théoriques

• ou bien $(u_n)$ ne converge pas vers 0. Dans ce cas, la suite $(u_n^\alpha)$ ne converge pas non plus vers 0, et donc la série $\sum_n u_n^\alpha$ diverge;
• ou bien $(u_n)$ converge vers 0. Dans ce cas, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on a $0\leq u_n\leq 1$. Puisque $\alpha\in]0,1[$, on en déduit que $0\leq u_n\leq u_n^\alpha$.

1. Par définition, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq l+\varepsilon.$$ On a alors, pour tout $n\geq n_0$ : \begin{eqnarray*} u_n&=&\frac{u_n}{u_{n-1}}\times\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\times\dots\times\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}\times u_{n_0}\\ &\leq&(l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}. \end{eqnarray*}
2. D'après la question précédente, on a $0\leq u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}$. Or, puisque $0<l+\varepsilon<1$, la série géométrique $\sum_n l^n$ est convergente. Par le théorème de majoration des séries à termes positifs, $\sum_n u_n$ converge.

1. On procède par récurrence sur $n$. Pour $n\geq N$, posons $P_n:"b_Na_n\leq a_N b_n"$.
   Initialisation : on a $b_N a_N = a_N b_N$ donc $P_n$ est vraie.
   Hérédite : Soit $n\geq N$ telle que $P_n$ est vraie. Alors on a \begin{align*} b_{N}a_{n+1}&\leq b_N a_n \frac{b_{n+1}}{b_n}\\ &\leq a_N b_n \frac{b_{n+1}}{b_n} \textrm{ par hypothèse de récurrence}\\ &\leq a_N b_{n+1}. \end{align*} Donc $P_{n+1}$ est vraie.
   Conclusion : Par le principe de récurrence, $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq N$.
2. 1. On a $0\leq a_n \leq \frac{a_N}{b_N} b_n$ et la série $\sum_n b_n$ converge. Par majoration de séries positives, la série $\sum_n a_n$ converge.
   2. On a $0\leq \frac{b_N}{a_N} a_n \leq b_n$ et la série $\sum_n a_n$ diverge. Par minoration de séries positives, la série $\sum_n b_n$ diverge.

1. Soit $\alpha\in ]1;\beta[$. Alors on a $$\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\alpha-\beta}n+o\left(\frac 1n\right).$$ Or, $\alpha-\beta<0$. Donc, pour $n$ assez grand, $\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{b_{n+1}}{b_n}$ est du signe de $\frac{\alpha-\beta}n$, c'est-à-dire est négatif. On a donc l'existence de $N\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq N$, $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.$$ Puisque $\sum_n b_n$ converge (puisque $\alpha>1$), on conclut en utilisant le résultat de la question 1.
2. On fait un raisonnement similaire, mais en choisissant cette fois $\alpha\in ]\beta;1[$. De la même façon, on démontre l'existence de $N\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq N$, $$\frac{b_{n+1}}{b_n}\leq \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ Puisque $\sum_n b_n$ diverge, on déduit de la question 1 la divergence de $\sum_n a_n$ (on échange bien sûr le rôle joué par $(a_n)$ et $(b_n)$).
3. On a \begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{(2n+2)!}{(2n)!}\times\frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2}\times\frac{4^n}{4^{n+1}}\\ &=\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2}\\ &=\frac{2n+1}{2n+2}\\ &=1-\frac{1}{2n+2}\\ &=1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac 1n\right). \end{align*} Appliquons le résultat précédent avec $\beta=1/2$, on trouve que la série $\sum_n a_n$ est divergente.

1. On a \begin{eqnarray*} w_n&=&\ln\left(\frac{(n+1)u_{n+1}}{nu_n}\right)=\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right)\right)\right)\\ &=&\ln\left(1+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\\ &=&O\left(\frac1{n^2}\right). \end{eqnarray*}
2. La question précédente prouve que la série de terme général $w_n$ converge. Ainsi, il existe $C\in\mathbb R$ tel que $\sum_{k=1}^nw_k\to C$. Mais $\sum_{k=1}^{n-1} w_k=\ln(nu_n)-\ln(u_1)$. On en déduit que la suite $(\ln(nu_n))$ converge vers un réel. Passant à l'exponentielle, on en déduit qu'il existe $\lambda>0$ tel que $nu_n\to\lambda$ c'est-à-dire $u_n\sim\frac\lambda n$. Ainsi, par comparaison, la série de terme général $u_n$ diverge.

from math import *
n=0
u=1
v=1-1/2
while (u-v>10**(-6)):
    n=n+1
    u=v+1/(2*n+1)
    v=u-1/(2*n+2)
print (u,v)

1. D'après la formule donnant la somme d'une suite géométrique (de raison $-x$ ici, avec $-x\neq 1$) on a $$1-x+\dots+(-1)^n x^n=\frac{1-(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}$$ ce qui est en réalité le résultat souhaité.
2. Remarquons que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $$0<1\leq 1+x\leq 2\implies \frac 12\leq \frac{1}{1+x}\leq 1.$$ En particulier, pour tout $x\in [0,1]$, puisque $x^{n+1}\geq 0$, on a $$0\leq\frac{x^{n+1}}{1+x}\leq x^{n+1}.$$ Intégrons cette inégalité entre $0$ et $1$. On obtient $$0\leq I_n\leq \int_0^1 x^{n+1}dx=\frac 1{n+2}.$$ Par le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ tend vers 0.
3. Intégrons entre $0$ et $1$ l'égalité obtenue précédemment. On a d'une part $$\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\ln 2$$ et d'autre part $$\int_0^1 \sum_{k=0}^n (-1)^k x^kdx=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}=S_n.$$ Ainsi, on a $$\ln 2=S_n+(-1)^{n+1}I_n.$$ Puisque $(I_n)$ tend vers 0, on en déduit que $(S_n)$ converge vers $\ln 2$.