Exercices corrigés - Séries numériques : produit de Cauchy et permutation des termes

D'après la formule classique pour les séries géométriques, on a $$\frac{1}{1-a}=\sum_{n\geq 0}a^n\textrm{ et }\frac{1}{1-b}=\sum_{n\geq 0}b^n.$$ Ces deux séries sont absolument convergentes puisque $|a|<1$ et $|b|<1$. On peut faire le produit de Cauchy et donc on obtient que $$\frac{1}{1-a}\times\frac{1}{1-b}=\sum_{n\geq 0}w_n\textrm{ avec }w_n=\sum_{k=0}^n a^kb^{n-k}.$$ Si $a=b$, on trouve directement que $w_n=\sum_{k=0}^n a^n=(n+1)a^n$. Si $a\neq b$, alors il faut utiliser la factorisation $$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\times\sum_{k=0}^n a^kb^{n-k}$$ qui donne le résultat.
Dans le cas où $a\neq b$, on peut très facilement conclure sans utiliser le produit de Cauchy, en calculant séparément la somme de chaque série géométrie $\sum_{n\geq 0}a^{n+1}$ et $\sum_{n\geq 0}b^{n+1}$.

L'exercice repose sur la définition de l'exponentielle par une série : pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$\exp(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}.$$

1. Pour chaque $n\geq 0$, $w_n$ est positif et satisfait $$w_n\leq 2^{-n}\exp(4).$$ Puisque la série de terme général $2^{-n}\exp(4)$ est convergente, il en est de même de la série de terme général $w_n$.
2. Écrivons le produit de Cauchy de $\sum_{k\geq 0}\frac{b^k}{k!}$ par $\sum_{k\geq 0}a^k$, où $a$ et $b$ sont des réels avec $|a|<1$. Ces deux séries sont absolument convergentes, et on a : $$\exp(b)\times\frac{1}{1-a}=\left(\sum_{k\geq 0}\frac{b^k}{k!}\right)\times\left(\sum_{k\geq 0}a^k\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$$ où $u_n$ est défini par $$u_n=\sum_{k=0}^n \frac{b^k}{k!}a^{n-k}=a^n\sum_{k=0}^n \frac{(b/a)^k}{k!}.$$ Pour $a=1/2$ et $b=2$, on trouve $w_n=u_n$. Ainsi, on a $$\sum_{n\geq 0}w_n=\exp(2)\times\frac{1}{1-1/2}=2\exp(2).$$