Exercices corrigés - Intégrale des fonctions continues par morceaux

Soient $m,n\in\mathbb Z$ avec $n\geq m$. Calculer $\int_m^n \lfloor x \rfloor dx$.
Calculer $\int_{-1}^2 x|x|dx$.
Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $I(a)=\int_0^1 \min(x,a)dx$.

Exercice 2 - Retrouver la fonction ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $|f(x)|\leq 1$ pour tout $x\in[a,b]$ et $\int_a^b f(x)dx=b-a$. Que dire de $f$?

Exercice 3 - Intégrale de $f$ et de $f^2$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer les fonctions continues $f:[0,1]\to [0,1]$ vérifiant $\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 f^2(t)dt$.

Exercice 4 - Égalité des valeurs absolues ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|=\int_a^b |f(t)|dt.$$ Montrer que $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$.

Exercice 5 - Point fixe ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Montrer que si $\int_0^1 f(t)dt=\frac 12$, alors $f$ admet au moins un point fixe dans $[0,1]$.

Exercice 6 - Changement de signes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$. On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.

Traiter le cas $n=0$.
Traiter le cas $n=1$.
Traiter le cas général.

Exercice 7 - Valeur moyenne ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que sa valeur moyenne est atteinte : il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt.$$

Exercice 8 - Une fonction lipschitzienne ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Démontrer que la fonction $\sin$ est lipschitzienne sur $\mathbb R$.
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que la fonction $F:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$F(x)=\int_a^b f(t)\sin(xt)dt$$ est lipschitzienne.

Exercice 9 - Continuité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Pour tout $x\in\mathbb R$, on pose $$g(x)=\int_0^1 f(t)e^{tx}dt.$$ Démontrer que $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$.

Exercice 10 - Lemme de Riemann-Lebesgue ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $\varphi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. On pose $$u_n=\int_a^b\varphi(x)\sin(nx)dx.$$ Montrer que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Montrer que cette propriété est conservée si $\varphi$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.

Exercice 11 - Approximation d'une valeur absolue ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ et soit $\veps>0$.

On suppose que $f$ est en escalier. Montrer qu'il existe $g:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $\int_{a}^b fg\geq \int_a^b |f|-\veps$ et $|g|\leq 1$.
Reprendre la même question si $f$ est continue.

Exercice 12 - Toutes les intégrales sont nulles ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a $\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f= 0$.

Exercice 13 - Intégrale d'une fonction périodique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue périodique de période $T$. On souhaite démontrer que, pour tout $a\in\mathbb R$, on a $$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$

Démontrer le résultat en introduisant la fonction $g(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt$.
Démontrer le résultat en introduisant un entier $n$ tel que $a\leq nT\leq a+T$ et en utilisant la relation de Chasles.

Exercice 14 - Dérivée périodique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est $T$-périodique. On suppose que $f(T)\neq f(0)$.

Montrer que pour tout $n\geq 1$, $f(nT)-f((n-1)T)=f(T)-f(0)$.
En déduire que $f$ n'est pas périodique.

Exercice 15 - Double relation ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb R$ telles que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $f(x)=\int_0^x g(t)dt$ et $g(x)=\int_0^x f(t)dt$. On pose $u=f-g$.

Démontrer que $u'=-u$ et que $u(0)=0$.
En déduire que $f=g=0$.

Exercice 16 - Équation ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer toutes les fonctions continues $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant, pour tous $(x,y)\in\mathbb R^2$, $2yf(x)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt$.

Exercice 17 - Une drôle d'égalité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ réalisant une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.

Justifier que $f$ est strictement croissante.
Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^+$, on a $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt.$$
En déduire que, pour tout $(x,y)\in[0,+\infty[^2$, on a $$xy\leq \int_0^x f(t)dt+\int_0^yf^{-1}(t)dt.$$ Dans quel cas a-t-on égalité?

Exercice 18 - Limites de suites ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Calculer la limite des suites suivantes :

$\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
$\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
$\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
$\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.

Exercice 19 - Produit ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer la limite de $$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$

Exercice 20 - Somme presque harmonique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=n}^{2n}\frac 1p$.

Exercice 21 - Somme de Riemann alternée ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f$ continue sur $[0,1]$. Déterminer la limite de la suite $u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^n (-1)^k f\left(\frac kn\right).$

Exercice 22 - Inégalité de Jensen ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et convexe. Démontrer que $$g\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b g(f(t))dt.$$

Exercice 23 - Série harmonique alternée ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$

Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.

Exercice 24 - Un équivalent de $\ln(n!)$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

1. Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
2. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 25 - Série harmonique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose, pour $n\geq 1$, $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$

Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer). Que dire de $(u_n)$?

Exercice 26 - Intégrales de Wallis (bis) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $n\in\mathbb N$, on pose $$I_n=\int_0^1 (1-t^2)^n dt.$$

Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
Montrer que, pour tout $u\in [0,1]$, on a $0\leq 1-u\leq e^{-u}$.
En déduire une majoration de $I_n$ à l'aide de $J_n=\int_0^{\sqrt n}e^{-x^2}dx$.
Montrer que la suite $(J_n)$ est majorée. En déduire que la suite $(I_n)$ converge vers une limite que l'on calculera.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_{n}=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$.
En déduire, pour $n\geq 0$, une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles,
En déduire une expression de $\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\theta d\theta$ pour tout $n\in\mathbb N$.

On va d'abord démontrer que la suite est décroissante. Soit $n\in\mathbb N^*$. Pour tout $t\in [0,1]$, on a $(1-t^2)\in [0,1]$ et donc $(1-t^2)^{n+1}\leq (1-t^2)^n$. On intègre cette inégalité entre $0$ et $1$ et on trouve que $I_{n+1}\leq I_n$. Supposons maintenant que $I_n=I_{n+1}$. Alors, on a $$\int_0^1 \left[(1-t^2)^n-(1-t^2)^{n+1}\right]dt=0.$$ Or, la fonction $t\mapsto (1-t^2)^n-(1-t^2)^{n+1}$ est continue et positive sur $[0,1]$. Son intégrale est nulle, donc cette fonction est identiquement nulle. Cela est faux si $t=1/2$. Donc $I_n\neq I_{n+1}$ et donc $I_{n}>I_{n+1}$.
La première inégalité est évidente. Pour la seconde, on peut étudier la fonction $\phi$ définie par $\phi(u)=e^{-u}-1+u$ sur l'intervalle $[0,1]$. Sa dérivée est $\phi'(u)=1-e^{-u}$ et elle est positive sur $[0,1]$, donc $\phi$ est croissante sur cet intervalle. Comme $\phi(0)=0$, on en déduit le résultat. Une autre façon de procéder, pour ceux qui connaissent les fonctions convexes, est de remarquer que la fonction $u\mapsto e^{-u}$ est convexe, et donc que sa courbe représentative est au-dessus de sa tangente à l'origine, dont l'équation est justement $y=1-x$.
D'après l'inégalité précédente, on a $$I_n\leq \int_0^1 e^{-nu^2}du=\frac{1}{\sqrt n}\int_0^{\sqrt n}e^{-t^2}dt=\frac1{\sqrt n}J_n.$$ où on a effectué le changement de variables $t=u\sqrt n$.
Si $x\geq 1$, alors $x^2\geq x$ et donc $e^{-x^2}\leq e^{-x}$. On en déduit que $$\begin{array}{rcl} J_n&\leq& \int_0^1e^{-x^2}dx+\int_1^{\sqrt n}e^{-x}dx\\ &=&\int_0^1e^{-x^2}dx+\left[-e^{-x}\right]_1^{\sqrt n}\\ &=&\int_0^1e^{-x^2}dx+e^{-1}-e^{-\sqrt n}\\ &\leq&\int_0^1 e^{-x^2}dx+e^{-1}. \end{array} $$ Ceci montre bien que $(J_n)$ est majorée. De l'inégalité $$0\leq I_n\leq \frac{J_n}{\sqrt n},$$ on déduit par le théorème des gendarmes que $(I_n)$ converge vers 0.
Il existe une façon plus simple de procéder si on connait les intégrales impropres. Puisqu'au voisinage de l'infini, $e^{-t^2}=o\left(\frac1{t^2}\right)$, l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ est convergente. On en déduit que la suite $(J_n)$ est convergente, de limite $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$. Cette suite étant convergente, elle est bornée.
On va intégrer par parties, en écrivant $(1-t^2)^{n}=(1-t^2)^{n} \times 1$, en dérivant $(1-t^2)^{n}$ et en intégrant $t$. On trouve \begin{eqnarray*} I_{n}&=&\left[(1-t^2)^{n}t\right]_0^1+2n\int_0^1 t^2(1-t^2)^{n-1}dt\\ &=&0+2n\int_0^1 (t^2-1+1)(1-t^2)^{n-1} dt\\ &=&2nI_{n-1}-2n I_n. \end{eqnarray*} On en déduit immédiatement le résultat demandé.
On remarque que $I_0=1$. On en déduit que \begin{eqnarray*} I_n&=&\frac{(2n)(2n-2)\dots 2}{(2n+1)(2n-1)\dots1}I_0\\ &=&\frac{\big[(2n)(2n-2)\dots 2\big]^2}{(2n+1)(2n)(2n-1)\dots1}\\ &=&\frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}. \end{eqnarray*}
On va encore faire un changement de variables en écrivant $\cos^{2n+1}\theta=(1-\sin^2\theta)^{n}\cos\theta$ et en posant $t=\sin \theta$, $dt=\cos \theta d\theta$. On en déduit que $$\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\theta d\theta=\int_0^1(1-t^2)^n dt=I_n=\frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}.$$

Exercice 27 - Intégrales de Wallis - convergence vers 0 ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$, pour $n\in\mtn$.

Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
Soit $\veps\in]0,\pi/2[$.
1. Montrer que $I_n\leq \frac{\pi}{2}\sin^n\left(\frac\pi 2-\veps\right)+\veps$.
2. En déduire (proprement!) que $(I_n)$ converge vers 0.

Exercice 28 - Intégrales de Wallis - obtention d'un équivalent ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $n\in\mathbb N$, on définit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$.

Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n xdx$.
Démontrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
Etablir que, pour tout $n\in\mtn$, on a : $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$.
Montrer que, pour tout $p\in\mathbb N$, $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
Montrer que $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$.
Montrer que $\dis \frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$ et en déduire que $I_{n+1}\sim_{+\infty}I_n$.
Montrer que $\dis I_n\sim_{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.

Appliquons le changement de variables $u=\frac\pi2-t$. Alors $$\int_0^{\pi/2}\sin^n tdt=-\int_{\pi/2}^0 \sin^n\left(\frac \pi2-u\right)du= \int_0^{\pi/2}\cos^n (u)du.$$
Sur $[0,\pi/2]$, on a $0\leq \sin \leq 1$. Ceci entraine que, pour tout $t\in[0,\pi/2]$, on a $\sin^{n+1}(t)\leq \sin^n(t)$. Il suffit d'intégrer cette inégalité entre $0$ et $\pi/2$ pour obtenir le résultat.
On intègre par parties $I_{n+2}$ en écrivant $\sin^{n+2}t=\sin^{n+1} t\sin t$, en dérivant $\sin^{n+1} t$ et en intégrant $\sin t$. On obtient : $$I_{n+2}=(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin^n t\cos^2tdt=(n+1)\int_0^{\pi/2} \sin^nt(1-\sin^2 t)dt.$$ Remettant ensembles tous les termes qui contiennent $I_{n+2}$, on obtient : $$(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n.$$
Remarquons par un petit calcul que $$I_0=\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_1=1.$$ On a : $$I_{2p}=\frac{2p-1}{2p}I_{2p-2}=\frac{(2p-1)(2p-3)}{2p(2p-2)}I_{2p-4}=\dots.$$ On obtient : $$I_{2p}=\frac{(2p-1)(2p-3)\times\dots\times 3\times 1}{2p(2p-2)\times\dots\times 4\times 2}I_0.$$ On complète les trous en haut en multipliant par $2p(2p-2)\dots 4\times 2$, et on obtient : $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{\big(2p(2p-2)\times\dots\times 4\times 2\big)^2}\frac{\pi}{2}.$$ Il reste à simplifier le dénominateur. On trouve : $$2p(2p-2)\times\dots\times 4\times 2=2^{p}p(p-1)\times 1=2^p p!.$$ On obtient finalement $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}.$$ On peut refaire le même type de calcul pour $I_{2p+1}$, ou utiliser l'astuce suivante. D'après la formule de récurrence : $$(2p+1)I_{2p+1}=(2p)I_{2p-1}.$$ On multiplie cette formule par $I_{2p}$ : $$(2p+1)I_{2p+1}I_{2p}=(2p)I_{2p}I_{2p-1}.$$ On réitère alors le procédé : $$(2p+1)I_{2p+1}I_{2p}=(2p)I_{2p}I_{2p-1}=(2p-1)I_{2p-1}I_{2p}=\dots=I_1I_0=\frac{\pi}{2}.$$ On en déduit : $$I_{2p+1}=\frac{1}{(2p+1)I_{2p}}\times \frac{\pi}{2},$$ ce qui donne : $$I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
La formule peut se trouver très facilement à partir des formules trouvées ci-dessus, en séparant les cas $n$ pair et $n$ impair. On peut aussi la démontrer directement en utilisant l'astuce employée pour calculer $I_{2p+1}$ à partir de $I_{2p}$.
On a déjà démontré que la suite $(I_n)$ est décroissante, ou encore, puisqu'elle est positive, que $\frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$. D'autre part, la formule de récurrence donne : $$I_{n+1}\geq I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n.$$ Divisant par $I_n$, on obtient l'autre inégalité demandée.
De $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$ et de l'inégalité précédente, on déduit : $$\frac{\pi}{2}\leq (n+1)I_n^2=\frac{\pi}{2}\frac{I_n}{I_{n+1}}\leq \frac{\pi}{2}\frac{n+2}{n+1}.$$ Il suffit ensuite de prendre la racine carrée de cette inégalité et de multiplier par $\displaystyle \sqrt{\frac{2}\pi}$ pour obtenir le résultat.

Exercice 29 - Intégrales de Wallis ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose, pour $n\geq 0$, $u_n=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n (t)dt$.

Calculer $u_0$, $u_1$.
Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $u_n\geq 0$. Étudier la monotonie de $(u_n)$. Que peut-on en déduire?
Établir que, pour tout $n\geq 1$, $(n+1)u_{n+1}=nu_{n-1}$ (on pourra effectuer une intégration par parties).
Soit $(v_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $v_n=(n+1)u_{n+1}u_n$ pour tout $n\in\mathbb N$. Démontrer que $(v_n)$ est une suite constante. Quelle est sa valeur?
En déduire que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(n+1)u_{n+1}^2\leq 2\pi\leq (n+1)u_n^2.$
Donner, à l'aide de la question précédente, un encadrement de $u_n$.
En déduire que $u_n\sim_{+\infty}\sqrt{\frac{2\pi}n}$.

Exercice 30 - Suites d'intégrales ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2.\ u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$

Exercice 31 - Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions de classe $C^1$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que $$\int_a^b f(t)\sin(nt)dt\to 0.$$

Exercice 32 - Des limites de l'informatique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $n\geq 0$, on considère la suite $(I_n)$ définie par $$I_n=\int_0^1 e^x (1-x)^n dx.$$

Calculer $I_0$ puis démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $I_{n+1}=(n+1)I_n-1$.
Écrire sous Python une fonction permettant de calculer $I_n$ en utilisant la relation de récurrence obtenue précédemment. Exécuter cette fonction. Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de la suite $(I_n)$?
Démontrer que $(I_n)$ est une suite décroissante, puis qu'elle est convergente. Quelle est sa limite? Comparer avec votre conjecture.
Pour $a\in \mathbb R$, on définit une suite $(J_n)$ par $J_{n+1}=(n+1)J_n-1$ et $J_0=a$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $J_{n+1}-I_{n+1}=(n+1)(J_n-I_n)$.
En déduire, suivant la valeur de $a$, le comportement de la suite $(J_n)$.
Expliquer le phénomène conduisant à la conjecture formulée à la question 2.

On a $I_0=e-1$. Pour obtenir la relation de récurrence, on va faire une intégration par parties, en posant $u'(x)=\exp(x)$ et $v(x)=(1-x)^{n+1}$, de sorte que $u(x)=\exp(x)$ et $v'(x)=-(n+1)(1-x)^n$. On trouve \begin{align*} I_{n+1}&=\left[ e^x (1-x)^{n+1}\right]_0^1 +(n+1)\int_0^1 e^x (1-x)^n dx\\ &=(n+1)I_n-1. \end{align*}
En utilisant $I_0=e-1$, une fonction qui convient est la suivante :
```
from math import *

def suite(n):
    I=exp(1)-1;
    for k in range(n):
        I=(k+1)*I-1
    return I
```
L'utilisation de cet algorithme donne des valeurs décroissantes pour $I_n$, positives pour $n\leq 17$ et négatives pour $\geq 18$ (en particulier, $suite(18)\simeq -0.8702$). Si on continue, il semble que la suite tende vers $-\infty$, puisque $suite(100)\simeq -1.35\times 10^{142}$.
Soit $n\in\mathbb N$. Remarquons que, pour tout $x\in [0,1]$, on a $0\leq (1-x)\leq 1$, et donc $$0\leq (1-x)^{n+1}\leq (1-x)^n.$$ On multiplie par $e^x$ (qui est positif), puis on intègre entre $0$ et $1$ pour trouver $$0\leq I_{n+1}\leq I_n.$$ On vient donc de prouver que la suite $(I_n)$ est décroissante. De plus, elle est minorée par $0$. Elle est donc convergente. Notons $\ell$ sa limite, avec $\ell\geq 0$. On peut écrire aussi la relation $I_{n+1}=(n+1)I_n-1$ sous la forme $$\frac{I_{n+1}}{n+1}=I_n-\frac{1}{n+1}.$$ Passant à la limite dans cette égalité, on trouve que $\ell=0$. La conjecture est donc fausse!
Pour prouver que $\ell=0$, on pouvait aussi observer que, pour tout $x\in [0,1]$, $$0\leq e^x(1-x)^n \leq e (1-x)^n$$ et donc $$0\leq I_n\leq \int_0^1 e (1-x)^n dx=\frac e{n+1}.$$ Par le théorème des gendarmes, $(I_n)$ tend vers $0$.
C'est immédiat! \[ J_{n+1}-I_{n+1}=(n+1)J_n-1-\big((n+1)I_n-1\big)=(n+1)\big(J_n-I_n\big). \]
Une récurrence rapide démontre que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$J_n-I_n=n! (J_0-I_0)=n! (a-e+1).$$ Puisque $(I_n)$ tend vers $0$, la suite $(J_n)$
- tend vers $0$ si $a=e-1$;
- tend vers $+\infty$ si $a>e-1$;
- tend vers $-\infty$ si $a<e-1$.
Python ne pouvait pas permettre de formuler une bonne conjecture. En effet, il ne connait pas la valeur exacte de $e$, mais seulement une valeur approchée. Et pour la formule de récurrence donnée, la seule suite qui tend vers $0$ est celle pour laquelle le premier terme vaut exactement $e$. Partant d'un mauvais premier terme (même si l'approximation est très bonne!), on a l'impression que la suite tend vers $-\infty$.

Exercice 33 - En découpant ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On note, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$ Soit également $\alpha\in [0,1[$.

Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$ (on pourra encadrer $\int_0^\alpha$ puis $\int_\alpha^1$).
Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$

On remarque d'abord que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $$\frac{1}{1+x^n}\leq 1.$$ Si on intègre cette inégalité entre 0 et 1, alors on trouve $$I_n\leq \int_0^1 dx=1.$$ D'autre part, soit $x\in [0,\alpha]$. Alors $1+x^n\leq 1+\alpha^n$ et donc $$\frac{1}{1+\alpha^n}\leq\frac{1}{1+x^n}.$$ On intègre cette inégalité entre $0$ et $\alpha$ et on trouve $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq \int_0^\alpha \frac{dx}{1+x^n}.$$ D'autre part, si $x\in[\alpha,1]$, alors $$\frac{1}{1+x^n}\geq 0\implies \int_{\alpha}^1 \frac{dx}{1+x^n}\geq 0.$$ En faisant la somme des deux inégalités précédemment obtenues, et en utilisant la relation de Chasles, on obtient $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n.$$
Soit $n\in\mathbb N$. Remarquons que, si $x\in[0,1]$, alors $$x^{n+1}\leq x^n.$$ Il vient $$\frac{1}{1+x^n}\leq\frac{1}{1+x^{n+1}}$$ et en intégrant cette inégalité, on trouve $$I_n\leq I_{n+1}.$$
La suite $(I_n)$ est croissante et majorée par 1. Elle converge vers un réel $\ell\leq 1$. Utilisons maintenant l'inégalité $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n.$$ En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ dans cette inégalité, on trouve $$\alpha\leq \ell.$$ On en déduit immédiatement que $\ell\geq 1$. En effet, si $\ell<1$, alors on peut choisir $\alpha\in ]\ell,1[$, et le résultat dit que $\alpha\leq \ell$ alors qu'on a choisi $\alpha>\ell$. C'est une contradiction et donc $\ell=1$.
Une autre façon de démontrer ce point est de dire que on peut faire tendre $\alpha$ vers 1 dans l'inégalité $\alpha\leq \ell$, et qu'en passant à la limite, $\alpha=1$.
Fixons $\alpha\in [0,\pi/2]$. On remarque cette fois que, pour tout $t\in \left[\alpha,\frac\pi 2\right]$, on a $$\sin(\alpha)\leq \sin(t)\implies -n\sin(\alpha)\geq -n\sin(t)$$ ce qui entraîne, puisque la fonction exponentielle est croissante, $$e^{-n\sin t}\leq e^{-n\sin\left(\alpha\right)}.$$ Sur l'intervalle $\left[0,\alpha\right],$ on majore la fonction à intégrer par 1. En découpant l'intégrale en 2, entre $\left[0,\alpha\right]$ et entre $\left[\alpha,\frac\pi2\right],$ on trouve alors que $$0\leq J_n\leq e^{-n\sin\left(\alpha\right)}\left(\frac\pi 2-\alpha\right)+\alpha\leq .$$ De plus, on vérifie que la suite $(J_n)$ est décroissante. Ainsi, elle est convergente et, passant à la limite dans l'égalité précédente, sa limite $\ell$ vérifie $$0\leq \ell\leq \alpha.$$ Finalement, en raisonnant exactement comme précédemment, on trouve $\ell=0$.

Exercice 34 - Strictement croissante ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ strictement croissante telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Prouver que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\big(f(t))^n dt=0.$

Exercice 35 - Cesaro pour les intégrales ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$. Montrer que $$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$

Exercice 36 - Norme $p$ et norme infinie ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f$ une fonction définie, continue, positive sur $[a,b]$. Montrer que $$\lim_{n\to +\infty}\left(\int_a^b f(x)^n dx\right)^{1/n}=\sup_{x\in [a,b]}f(x).$$

Exercice 37 - Homothétie et fonction périodique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et périodique de période $1.$ Soit également $a<b$ deux réels. Démontrer que $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(nx)dx=(b-a)\int_0^1 f(t)dt.$$

Exercice 38 - Équivalent ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. On pose $u_n=\int_0^1 t^n f(t)dt$.

Démontrer que $(u_n)$ tend vers 0.
On suppose de plus que $f$ est $C^1$ et que $f(1)\neq 0$. Déterminer un équivalent de $(u_n)$.

Exercice 39 - Vers 0, mais comment? ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $g:[0,1]\to\mathbb R$ continue.

Étudier la suite $(L_n)$ définie par $L_n=\int_0^1 t^n g(t)dt$.
On suppose que $g$ vérifie $g(1)=0$. Étudier la suite $(I_n)$ définie par $I_n=n\int_0^1 t^n g(t)dt.$
On suppose maintenant que $g$ est de classe $C^1$ et vérifie $g(1)=g'(1)=0$. Etudier la suite $(J_n)$ définie par : $J_n=n^2\int_0^1 t^ng(t)dt.$

Exercice 40 - Une borne inférieure ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $\mathcal E=\{f\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb R);\ f(0)=0\textrm{ et }f(1)=1\}$.

Soit $f\in\mathcal E$.
1. Démontrer que l'on a $$\int_0^1 e^{-t}\big(f'(t)-f(t)\big)dt=\frac 1e.$$
2. En déduire l'inégalité $$\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt\geq\frac 1e.$$
3. Discuter le cas d'égalité.
Soit $n\geq 2$ un entier. On définit la fonction $f_n$ sur $[0,1]$ par $$f_n(t)=\left\{ \begin{array}{ll} n(2t-nt^2)e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[0,\frac 1n\right[\\ e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[\frac 1n,1\right]. \end{array}\right.$$
1. Justifier que $f_n\in\mathcal E$.
2. On pose $$I_n=\int_0^1 |f_n'(t)-f_n(t)|dt.$$ Montrer que $$I_n=\frac 2e\int_0^1 (1-x)e^{x/n}dx.$$
3. Calculer $\dis \frac2e \int_0^1 (1-x)dx$ puis montrer que $$\left|I_n-\frac 1e\right|\leq \frac 1e\left(e^{1/n}-1\right).$$
4. Que vaut $\inf_{f\in\mathcal E}\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt$?

1. Réalisons une intégration par parties : on a $$\int_0^1 e^{-t}f'(t)dt=\left[e^{-t}f(t)\right]_0^1 +\int_0^1 e^{-t}f(t)dt.$$ Tenant compte du fait que $f\in\mathcal E$, et donc que $f(0)=0$ et $f(1)=1$, on trouve $$\int_0^1 e^{-t}f'(t)dt=e^{-1}+\int_0^1 e^{-t}f(t)dt,$$ ce qui est le résultat voulu.
2. On a $$\frac 1e=\left |\int_0^1 e^{-t}\big(f'(t)-f(t)\big)dt\right|\leq \int_0^1 e^{-t}|f'(t)-f(t)|dt.$$ Puisque pour tout $t\in [0,1]$, on a $e^{-t}\leq 1$ et donc $e^{-t}|f'(t)-f(t)|\leq |f'(t)-f'(t)|$, on en déduit par intégration que $$\frac 1e\leq \int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt.$$
3. Pour avoir égalité, il est nécessaire que $$\int_0^1 e^{-t}|f'(t)-f(t))dt|=\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt$$ soit encore $$\int_0^1 (1-e^{-t})|f'(t)-f(t)|dt=0.$$ Or, la fonction $t\mapsto (1-e^{-t})|f'(t)-f(t)|$ est continue et positive sur $[0,1]$. Si son intégrale est nulle, c'est que la fonction est identiquement nulle. Or, $1-e^{-t}$ ne s'annule qu'en $t=0$. On a donc, pour tout $t\in ]0,1]$, $f'(t)=f(t)$, et cette égalité est encore vraie en $0$ puisque les fonctions sont continues. Il existe donc $\lambda\in\mathbb R$ tel que $f(t)=\lambda e^t$, pour tout $t\in [0,1]$. Mais il est impossible de trouver un $\lambda$ de sorte que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. On n'a donc jamais égalité dans l'inégalité de la question précédente.
1. La fonction $f_n$ est clairement de classe $\mathcal C^\infty$ sur chacun des intervalles $[0,1/n[$ et $]1/n,1]$. De plus, $f_n(0)=0$ et $f_n(1)=1$. Reste à étudier ce qui se passe en $1/n$. On commence par vérifier que la fonction est continue. On a d'une part $$\lim_{t\to \frac 1n^-}f_n(t)=n\left(\frac 2n-\frac n{n^2}\right)e^{\frac 1n-1}=e^{\frac 1n-1}$$ et d'autre part $$\lim_{t\to\frac 1n^+}f_n(t)=e^{\frac 1n-1}.$$ Ainsi, $f_n$ est bien continue en $\frac 1n$. On va ensuite prouver que $f_n$ est dérivable en $\frac 1n$ et que sa dérivée est continue. Par le théorème de prolongement d'une dérivée, il suffit de vérifier que les deux limites $\lim_{t\to\frac 1n^-}f_n'(t)$ et $\lim_{t\to\frac 1n^+}f_n(t)$ existent et coïncident. Pour la deuxième limite, le calcul ne pose pas de problèmes puisque $f_n'(t)=f_n(t)$ si $t\in ]1/n,1]$. Pour la deuxième limite, on observe que, si $t\in [0,1/n[$, alors $$f_n'(t)=n(2-2nt)e^{t-1}+n(2t-nt^2)e^{t-1}$$ et donc $$\lim_{t\to\frac 1n^-}f_n'(t)=e^{\frac 1n-1}=\lim_{t\to\frac 1n^+}f_n'(t).$$ Par le théorème de prolongement d'une dérivée, $f_n$ est dérivable en $1/n$ et sa dérivée y est continue. Ainsi, $f_n\in\mathcal E$.
2. D'abord, si $t\geq 1/n$, on a $f_n'(t)=f_n(t)$. Si $t\in [0,1/n[$, le calcul effectué précédemment donne $$f_n'(t)-f_n(t)=2n(1-nt)e^{t-1}.$$ On a donc $$I_n=\frac 2e \int_0^{\frac 1n}n(1-nt)e^tdt.$$ Le changement de variables $x=nt$ donne immédiatement le résultat voulu.
3. Un calcul direct donne $$\frac 2e\int_0^1 (1-x)dx=\frac2e\left[-\frac{(1-x)^2}2\right]_0^1=\frac 1e.$$ On en déduit que $$ \left|I_n-\frac 1e\right|\leq \frac 2e\int_0^1 (1-x)\left|e^{x/n}-1\right|dx.$$ Or, pour tout $x$ dans $[0,1]$, on a $1\leq e^{x/n}\leq e^{1/n}$, donc $0\leq e^{x/n}-1\leq e^{1/n}-1$ ce qui implique $$\left|I_n-\frac 1e\right|\leq \frac {2(e^{1/n}-1)}e\int_0^1 (1-x)dx\leq \frac 1e (e^{1/n}-1).$$
4. Le théorème des gendarmes nous dit que $\lim_{n\to+\infty}I_n=\frac 1e$. D'après la question 1.3, on sait que $$\inf_{f\in\mathcal E}\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt\geq\frac 1e.$$ De plus, on vient de construire une suite $(f_n)$ de $E$ de sorte que $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 |f_n'(t)-f_n(t)|dt=\frac 1e.$$ C'est donc que $$\inf_{f\in\mathcal E}\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt=\frac 1e.$$ Cette borne inférieure n'est jamais atteinte.

Exercice 41 - Norme deux d'une fonction et de sa dérivée ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(a)=0$.

Prouver que, pour tout $x\in[a,b]$, $$|f(x)|^2\leq (x-a)\int_a^b |f'(t)|^2dt.$$
En déduire que $$\int_a^b |f(x)|^2dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b |f'(x)|^2dx.$$

Exercice 42 - Borne inférieure ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues strictement positives sur $[0,1]$. Calculer, après en avoir justifié l'existence $$\inf_{f\in E}\left(\int_0^1 f(x)dx\times\int_0^1\frac1{f(x)}dx\right).$$ Cette borne inférieure est-elle atteinte? Si oui, par quelles fonctions?

Exercice 43 - Logarithme intégral au carré ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
On considère la fonction $F$ définie sur $J=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $J$.
En utilisant la décroissance de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$ sur $I=]1,+\infty[$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.

Exercice 44 - Étude d'une fonction ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$.

Quel est le domaine de définition de $f$? Est-elle paire, impaire?
Étudier les variations de $f$, puis l'existence de limites aux bornes de l'ensemble de définition.

Exercice 45 - Étude d'une fonction ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $x>0$, on note $\varphi(x)=\frac {e^{-x}}x$ et $f(x)=\int_{x}^{2x}\varphi(t)dt$.

Justifier que $f$ est bien définie sur $]0,+\infty[$.
Exprimer $f$ en fonction d'une primitive $\phi$ de $\varphi$. En déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
Étudier les variations de $f$ sur $]0,+\infty[$.
Établir que, pour tout $x>0$, $e^{-2x}\ln(2)\leq f(x)\leq e^{-x}\ln(2)$. En déduire la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
On pose, pour $x\in ]0,1[$, $g(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$. Donner une relation entre $f$ et $g$, et en déduire la limite de $g$ en $1$.

Exercice 46 - Étude d'une fonction ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Étudier la fonction suivante sur $\mathbb R$ : $$f:x\mapsto\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt tdt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos \sqrt tdt.$$

Exercice 47 - Le logarithme intégral ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Question préliminaire : Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Justifier que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
On définit, pour $x\in[0,1[$, $$f(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$$ où la fonction $t\mapsto 1/\ln(t)$ est prolongée par continuité en $0$ par la valeur $0.$ En particulier, $f(0)=0.$

En utilisant la concavité du logarithme, démontrer que $$\forall x\in]0,1[,\ \forall t\in]x^2,1],\ \frac{2\ln x}{x^2-1}(t-1)\leq \ln t\leq t-1.$$
En déduire que $f$ se prolonge par continuité en 1.
Justifier que $f$ est dérivable sur $[0,1]$, et calculer sa dérivée.
En déduire la valeur de $I=\int_0^1\frac{(t-1)}{\ln t}dt$.

Pour la question préliminaire, fixons $a\in I$ et posons, pour $x\in I$, $H(x)=\int_a^x h(t)dt$. Puisque $h$ est continue, le théorème fondamental du calcul intégral nous dit que $H$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$, et que $H'=h$. Mais on a, par la relation de Chasles, pour tout $x\in J$, $$F(x)=\int_{u(x)}^a h(t)dt+\int_a^{v(x)}h(t)dt=H\circ v(x)-H\circ u(x).$$ Par composition, $F$ est dérivable sur $J$ et $$F'(x)=v'(x) h(v(x))-u'(x)h(u(x)).$$

La fonction logarithme est concave. Sa courbe représentative, entre les points d'abscisse $x^2$ et d'abscisse 1, est en dessous de la tangente en 1 et au dessus de la corde reliant $(x^2,\ln (x^2))$ à $(1,\ln 1)$. L'équation de la tangente est exactement $t\mapsto t-1$. Celle de la corde est $$t\mapsto \frac{\ln (x^2)-\ln 1}{x^2-1}(t-1).$$ On en déduit exactement le résultat demandé.
On va passer à l'inverse et intégrer cette inégalité. Il faut simplement prendre garde que $x^2\leq x$. On a donc, pour $x<1$ et $t\in[x^2,x]\subset[x^2,1]$, $$\frac{1}{t-1}\leq\frac{1}{\ln t}\leq\frac{x^2-1}{2\ln x}\times\frac{1}{t-1}.$$ On intègre, l'ordre des inégalités est changée car $x^2\leq x$, et on trouve $$\int_{x}^{x^2}\frac{x^2-1}{2\ln x}\times\frac{dt}{t-1}\leq f(x)\leq \int_{x}^{x^2}\frac{dt}{t-1}$$ soit $$\frac{x^2-1}{2\ln x}\big(\ln|x^2-1|-\ln|x-1|\big)\leq f(x)\leq \ln|x^2-1|-\ln|x-1|$$ soit, puisque $\ln|x^2-1|=\ln|x-1|+\ln(x+1)$, $$\frac{(x-1)}{\ln x}\times \frac{(x+1)\ln (x+1)}{2}\leq f(x)\leq \ln(x+1).$$ Il suffit de passer à la limite pour prouver que $f$ tend vers $\ln(2)$ lorsque $x$ tend vers 1. On peut donc prolonger $f$ par continuité en $1$, avec $f(1)=\ln(2)$.
Posons pour $x\in[0,1[$, $F(x)=\int_0^x \frac{1}{\ln t}dt$. $F$, comme primitive d'une fonction continue, est dérivable sur l'intervalle $[0,1[$. De plus, on a $f(x)=F(x^2)-F(x)$. Par composition, $f$ est elle-aussi dérivable sur $[0,1[$, et la question précédente a prouvé qu'elle était continue en $1$. De plus, sa dérivée vaut \begin{eqnarray*} f'(x)&=&2xF'(2x)-F'(x)\\ &=&\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}\\ &=&\frac{x-1}{\ln x}. \end{eqnarray*} Ceci admet une limite lorsque $x$ tend vers 1 (à savoir 1). Par le théorème de prolongement d'une dérivée, $f$ est aussi dérivable en $1$ avec $f'(1)=1$.
Il suffit de remarquer que, puisque $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, $$I=\int_0^1 f'(t)dt=f(1)-f(0)=\ln 2.$$

Exercice 48 - Autour du théorème fondamental du calcul intégral ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Le théorème fondamental du calcul intégral est le résultat suivant :

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, et si, pour tout $x\in [a,b]$, on pose $$F(x)=\int_a^x f(t)dt,$$ alors $F$ est dérivable sur $[a,b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in [a,b]$.

Pourquoi ce théorème est fondamental???
Dans le programme de Terminale S, il est écrit dans les commentaires "Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où $f$ est positive et croissante". Faire cette démonstration. En quoi les hypothèses $f$ positive et $f$ croissante sont utiles? Pourrait-on s'en passer (au niveau Terminale S)?
Regarder la preuve de ce théorème dans votre cours de licence, ou dans un livre de math sup. Quel argument fait que l'on ne peut pas prouver le cas général en Terminale S?

Ce théorème est fondamental, car il fait le lien entre la notion d'intégrale et la notion de primitive. C'est lui qui permet d'affirmer que toute fonction continue admet des primitives, et que le calcul intégral est l'opération contraire (réciproque) de la dérivation.
On va calculer le taux d'accroissement de $F$ en $x_0$. Soit $h>0$. Alors $$\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h=\frac 1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt.$$ La fonction $f$ étant positive, cette dernière intégrale est égale à l'aire sous la courbe de la fonction $f$ entre les droites $x=x_0$ et $x=x_0+h$. La fonction $f$ étant croissante, cette aire est plus grande que l'aire du rectangle délimité par les droites $x=x_0$, $x=x_0+h$, $y=0$ et $y=f(x_0)$. On a ainsi $$hf(x_0)\leq \int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt.$$ On peut aussi majorer l'aire sous la courbe par l'aire d'un autre rectangle, en remplaçant la droite $y=f(x_0)$ par la droite $y=f(x_0+h)$. On obtient alors $$\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt\leq hf(x_0+h).$$ Finalement, divisant par $h>0$, on a l'encadrement $$f(x_0)\leq \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h\leq f(x_0+h).$$ On fait alors tendre $h$ vers $0$ et on obtient que $$\lim_{h\to 0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h=f(x_0)$$ car $f$ est continue en $x_0$. On procède de la même façon si $h<0$ (en faisant attention au sens des inégalités!).
L'hypothèse $f$ positive sert à interpréter l'intégrale comme une aire sous la courbe. L'hypothèse $f$ croissante sert à encadrer l'intégrale par deux quantités faciles. On pourrait se passer de l'hypothèse $f$ positive si on n'utilise pas l'interprétation géométrique, mais si on majore directement en utilisant la positivité de l'intégrale : pour tout $x\in [x_0,x_0+h]$, on a $f(x)\geq f(x_0)$ et si on intègre cette inégalité entre $x_0$ et $x_0+h$, on obtient l'inégalité obtenue ci-dessus.
Si on veut faire cette preuve sans hypothèse supplémentaire, on est conduit à "mettre les mains dans le cambouis" et à utiliser la définition de la continuité avec des quantificateurs. Fixons $\veps>0$. Il existe $\eta>0$ tel que, si $x\in [x_0-\eta,x_0+\eta]$, alors $f(x_0)-\veps\leq f(x)\leq f(x_0)+\veps$. Mais alors, si $|h|<\eta$ (avec par exemple $h>0$), on a pour tout $t\in [x_0,x_0+h]$, $f(x_0)-\veps\leq f(t)\leq f(x_0)+\veps$. Si on intègre cette inégalité entre $x_0$ et $x_0+h$ et que l'on divise par $h$, alors on trouve que $$f(x_0)-\veps\leq \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h\leq f(x_0)+\veps.$$ On vient d'écrire avec des quantificateurs que le taux d'accroissement $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h$ tend vers $f(x_0)$ si $h$ tend vers 0, exactement ce que l'on voulait.

Exercice 49 - Stricte positivité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Le théorème suivant est très classique :

Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et positive. Alors $$\int_a^b f(t)dt=0\implies f=0.$$

Démontrer ce théorème en procédant par contraposée et en utilisant des "epsilon" pour écrire la définition de la continuité.
Démontrer ce théorème en utilisant la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)dt.$
Application 1 : Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac 1n>\int_n^{n+1}\frac{dt} t.$$
Application 2 : On considère $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Démontrer que $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt$$ définit un produit scalaire sur $E$.

Exercice 50 - Diverses versions du théorème fondamental ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Dans votre devoir de révision sur l'intégration de Terminale S, vous avez demandé à vos élèves d'énoncer le théorème fondamental du calcul intégral. Voici quelques-une de leurs réponses, analysez-les.

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$. Alors $F:x\mapsto \int_a^b f(x)dx$ est dérivable sur $]a,b[$ et on a $F'(x)=f(x)$.
Si $F$ est une fonction définie et de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors, en notant sa dérivée $F'$ définie et continue sur $[a,b]$, $$\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a).$$
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue, soit $a\in I$. Pour tout $x\in I$, il existe une fonction $F:I\to\mathbb R$ telle que $$F(x)=\int_a^x f(t)dt.$$ On dit que $F$ est une primitive de $f$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b]$. Soit $x\in [a,b]$, on note la primitive $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ de $f$. Alors $F'(x)=f(x)$.
Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et soit $a\in I$. La fonction $F$ qui s'annule en $a$ est définie par pour tout $x\in I$, $F(x)=\int_a^x f(x)dx$. De plus, $F'(x)=f(x)$.
Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$ tel que $a<b$ et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors il existe une fonction $F$ dérivable sur $[a,b]$ et de dérivée $f$. De plus on a $$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a).$$
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors elle admet une primitive $F$ dérivable sur $[a,b]$ telle que $F'=f$.

Exercice 51 - Où est l'erreur? ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Dans une copie d'élève, on lit la chose suivante :

Proposition : pour toutes fonctions continues $f,g$ de $[0,1]$ dans $\mathbb R$, on a $\int_0^1 |f(x)-g(x)|dx=\left|\int_0^1 \big(f(x)-g(x)\big)dx\right|$.
Preuve : Si $f(x)\geq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\geq 0$. Ainsi, on a $|f(x) - g(x)| = f(x)- g(x)$ et donc $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx.$ Cette dernière intégrale est positive, elle est donc égale à sa valeur absolue.
Par contre, si $f(x) \leq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\leq 0$. Dans ce cas on a $|f(x) - g(x)| = g(x)- f(x)=-(f(x)-g(x))$ et donc \[ \textstyle\displaystyle \int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = - \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx. \] L'intégrale de la fonction $f-g$ étant négative, cette quantité est égale à $\left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx \right|$. Dans tous les cas, on déduit que $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = \left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx\right|$.

Démontrer que la proposition est fausse. Où se situe l'erreur dans la démonstration?