Exercices corrigés - Intégrales impropres - fonctions intégrables
Convergence
Exercice 1 - Convergence d'intégrales impropres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes?
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \ln tdt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}x(\sin x)e^{-x}dx&&\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}(\ln t)e^{-t}dt\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \int_0^1 \frac{dt}{(1-t)\sqrt t}
\end{array}
$$
Exercice 2 - Convergence d'intégrales impropres - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes?
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{dt}{e^t-1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}\frac{te^{-\sqrt t}}{1+t^2}dt\\
\displaystyle \mathbf 3. \int_0^1 \cos^2\left(\frac1t\right)dt
\end{array}$$
Exercice 3 - Convergence d'intégrales impropres - 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes?
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2+1}dt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{\ln x}}{(x-1)\sqrt x}dx\\
\displaystyle \mathbf 3. \int_1^{+\infty} e^{-\sqrt{\ln t}}dt
\end{array}$$
Exercice 4 - Convergence d'intégrales impropres - avec paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du paramètre $\alpha\in\mathbb R$, la convergence des intégrales impropres suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}&&\displaystyle \mathbf2.\ \int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}-1}{t^\alpha}dt\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}\frac{t-\sin t}{t^\alpha}dt&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{t^\alpha}dt
\end{array}$$
Enoncé
- Démontrer la convergence de l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^{3/4}}dx$. On pourra comparer avec $\frac 1{x^\alpha}$ pour $\alpha$ bien choisi.
- Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$. En déduire la convergence de $\int_0^1\frac{\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)}{x^{3/4}}dx$.
- Donner un équivalent simple au voisinage de $+\infty$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$. En déduire la nature de $\int_1^{+\infty}\frac{\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)}{x^{3/4}}dx$.
Enoncé
- La fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{e^{-x}}{\sqrt{x^2-4}}$ est-elle intégrable sur $]2,+\infty[$?
- Soit $a$ un réel positif. La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{\ln(x)}{\sqrt{1+x^{2a}}}$ est-elle intégrable sur $]0,+\infty[$?
Enoncé
Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de
$$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}.$$
- On suppose $\alpha>1$. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente.
- On suppose $\alpha=1$. Calculer, pour $X>e$, $\int_e^X\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. En déduire les valeurs de $\beta$ pour lesquelles l'intégrale converge.
- On suppose $\alpha<1$. En comparant à $1/t$, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Exercice 8 - Convergence d'intégrales impropres à paramètres - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, la convergence des intégrales suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{t\ln t}{(1+t^2)^\alpha}dt&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}x^\alpha\ln\left(x+e^{\alpha x}\right)dx\
\end{array}$$
Exercice 9 - Convergence d'intégrales impropres avec développements limités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes?
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \frac{dt}{1-\sqrt t}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}\left(1+t\ln\left(\frac{t}{t+1}\right)\right)dt\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \int_2^{+\infty}\left(\sqrt{x^4+x^2+1}-x\sqrt[3]{x^3+ax}\right)dx,\ a\in\mathbb R.&&\displaystyle
\mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}e^{-t}\left(\frac1{1-e^{-t}}-\frac 1t\right)dt.
\end{array}$$
Enoncé
- Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge, et soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites tendant vers $+\infty$. Démontrer que $\int_{x_n}^{y_n}f(t)dt$ tend vers 0.
- En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-t\sin t}dt$ diverge.
Exercice 11 - Convergence et convergence absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Montrer que les intégrales impropres $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ et $\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}tdt$ sont convergentes.
On souhaite prouver que la fonction $\frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable, c'est-à-dire que $\int_1^{+\infty}\left|\frac{\sin t}t\right|dt$ diverge. - Méthode 1. Prouver que, pour tout $t\in\mathbb R$, $|\sin t|\geq \frac{1-\cos 2t}{2}$. En déduire le résultat.
- Méthode 2. Prouver que, pour tout $k\in\mathbb N$, $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\frac{1}{(k+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$ Retrouver alors le résultat.
Enoncé
Étudier la convergence des intégrales suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1. \int_4^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x }dx&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_1^{+\infty}\ln\left(1+\frac{\sin x}{x^\alpha}\right)dx,\ \alpha>0
\end{array}$$
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et $s_0\in\mathbb R$ tels que
$\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge.
- Soit $F$ une primitive de $t\mapsto f(t)e^{-s_0t}$ sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $F$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
- En déduire que, pour tout $s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge.
- Sur le même modèle, démontrer que si $g:[1,+\infty[\to\mathbb R$ est une fonction continue telle que $\int_1^{+\infty}g(t)dt$ converge, alors $\int_1^{+\infty}\frac{g(t)}tdt$ converge.
Exercice 14 - Avec le critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction continue décroissante,
de limite nulle en $+\infty$. On
pose $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(t)\sin(t)dt$.
- Montrer que la série de terme général $u_n$ est convergente.
- En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ est convergente. Quel est son signe?
- On suppose $f(x)\geq 1/x$ pour $x\geq x_0$. Prouver que $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ n'est pas absolument convergente.
Exercice 15 - Intégrale impropre et fonction $1-$périodique. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et $1$-périodique. Déterminer l'ensemble des $a\in\mathbb R$ tels que
$\int_1^{+\infty}\frac{a-f(t)}{t}dt$ converge.
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par
$$f(x)=\frac{1}{1+x^4\sin^2 x}.$$
Démontrer que $f$ est intégrable sur $\mathbb R$.
Calcul
Enoncé
Après en avoir justifié l'existence, calculer par récurrence la valeur de
$I_n=\int_0^1 (\ln x)^ndx.$
Enoncé
- Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$ converge, puis, avec le changement de variables $u=1/t$, que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0$.
- Soit $a>0$. Calculer $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue bornée sur $[0,+\infty[$.
- Démontrer que les intégrales $\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx$ et $\int_0^{+\infty}\frac{f(1/x)}{1+x^2}dx$ sont convergentes.
- Démontrer qu'elles sont égales.
- Application : pour $n\geq 0$, calculer $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^n)}$ et $\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx.$
Enoncé
Soient $0<a<b$.
- Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$.
- Soient $0<x<y$. Démontrer que $$\int_x^y \frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}tdt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt.$$
- Démontrer que, pour tout réel $z>0$, $$e^{-bz}\ln\frac ba\leq\int_{az}^{bz}\frac{e^{-t}}tdt\leq e^{-az}\ln\frac ba.$$
- En déduire que $$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba.$$
Exercice 21 - Une intégrale comme somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de prouver la relation suivante :
$$\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}.$$
- Prouver la convergence de l'intégrale.
- Montrer que, pour tout entier $k\geq 0$, l'intégrale $I_k=\int_0^1 t^k\ln tdt$ converge, puis calculer $I_k$.
- Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}=\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1}dt-\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt.$
- Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ se prolonge par continuité en 0 et en 1. En déduire qu'il existe une constante $M>0$, qu'on ne cherchera pas à calculer, telle que, pour tout $t\in]0,1[$, $\left|\frac{t^2\ln t}{t^2-1}\right|\leq M$.
- En déduire que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt=0$, puis la relation demandée.
Enoncé
- Démontrer la convergence de $\int_0^{+\infty}\big(\arctan(x+1)-\arctan(x)\big)dx$.
- Démontrer que $\lim_{X\to +\infty}\int_X^{X+1}\arctan(x)dx=\frac\pi 2$.
- Calculer $\int_0^1 \arctan(x)dx$.
- Calculer $\int_0^{+\infty}\big(\arctan(x+1)-\arctan(x)\big)dx$
Enoncé
Justifier la convergence et calculer la valeur des intégrales suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{1}\frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}dt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}te^{-\sqrt t}dt\\
\displaystyle\mathbf 3.\int_0^{+\infty}\sin(t)e^{-at}dt,\ a>0.
\end{array}$$
Enoncé
Le but de cet exercice est de calculer la valeur de $I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}tdt$.
Pour chaque entier $n$, on note
$$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{\sin t}dt\textrm{ et }J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{t}dt.$$
- Justifier que, pour tout $n\geq 0$, $I_n$ et $J_n$ sont bien définis.
- Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_n-I_{n-1}=0$. En déduire la valeur de $I_n$.
- Soit $\phi:[0,\pi/2]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_0^{\pi/2}\phi(t)\sin\big((2n+1)t\big)dt$ tend vers 0.
- Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac 1t-\frac 1{\sin t}$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi/2]$.
- En déduire que $J_n-I_n\to 0$.
- Démontrer, en utilisant un changement de variables, que $J_n\to I$.
- En déduire la valeur de $I$.
Exercice 25 - Application à la positivité de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R,$ $P(x)\geq 0$. On note $n=\textrm{deg}(P)$ et $Q=\sum_{k=0}^n P^{(k)}$.
- Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R,$ $$Q(x)=e^{x}\int_x^{+\infty}e^{-t}P(t)dt.$$
- En déduire que $Q\geq 0$.
Exercice 26 - $\big(\arctan(2x)-\arctan(x)\big)/x$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\arctan(2x)-\arctan(x)}xdx$.
Enoncé
- Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\int_x^{3x}\frac{\sin(t)}{t^2}dt.$
- Justifier la convergence de l'intégrale $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin^3(t)}{t^2}dt.$
- En linéarisant $\sin^3(t)$, calculer cette intégrale.
Intégration des relations de comparaison
Exercice 28 - Intégration des relations de comparaison [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $[a,b[$, à valeurs
dans $\mathbb R_+$.
- On suppose dans cette question que $g=_bo(f)$.
- On suppose que $\int_a^b f(t)dt$ converge. Montrer que $$\int_x^b g(t)dt=_bo\left(\int_x^b f(t)dt\right).$$
- On suppose que $\int_a^b g(t)dt$ diverge. Montrer que $$\int_a^x g(t)dt=_bo\left(\int_a^x f(t)dt\right).$$
- On suppose désormais que $g\sim_b f$.
Déduire de la question précédente que,
- si $\int_a^b f(t)dt$ converge, alors $$\int_x^b g(t)dt\sim_b \int_x^b f(t)dt ;$$
- si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $$\int_a^x g(t)dt\sim_b \int_a^x f(t)dt;$$
- Donner un équivalent de $\int_1^{x}\frac{\arctan t}{t}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Enoncé
Donner un équivalent de $\int_1^{x}\frac{\arctan t}{t}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercice 30 - Équivalent de la queue de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
- Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt.$$
- En déduire un équivalent simple de $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercice 31 - Équivalent du reste de l'intégrale de $e^{-t}/t$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer un équivalent simple en $+\infty$ de $\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt$.
Exercice 32 - Développement asymptotique d'une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un développement asymptotique à trois termes au voisinage de $+\infty$ de $\int_1^x \frac{e^t}tdt$.
Exercice 33 - Développement asymptotique du logarithme intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère le logarithme intégral qui est la fonction
définie par
$$\forall x\geq 2,\ li(x)=\int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$
Pour tout $n\geq 1$, donner un développement asymptotique de $li(x)$
à $n$ termes lorsque $x\to+\infty$.
Autres estimations de restes ou d'intégrales partielles
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue, et $b>a>0$ deux réels.
- On suppose que $f(0)=0$. Démontrer que $$\lim_{x\to 0^+}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}tdt=0.$$
- Déterminer $\lim_{x\to 0^+}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}tdt$ si on ne suppose plus que $f(0)=0$.
Enoncé
Déterminer la limite, lorsque $x\to 0^+$, de $\int_x^{2x}\frac{\sin t}{t^2}dt$.
Enoncé
Soit $0<a<b$. Déterminer un équivalent, lorsque $x\to+\infty$ de
$\displaystyle \int_{ax}^{bx}\frac{\ln(1+t)}{t}dt.$
Application à l'étude de fonctions définies par des intégrales
Enoncé
- Pour quelles valeurs de $a\in\mathbb R$ l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-ax}dx$ est-elle convergente?
- Pour quelles valeurs de $a\in\mathbb R$ l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-ax}\arctan xdx$ est-elle convergente? On note $\mathcal D$ cet ensemble de valeurs et pour $a\in\mathcal D$, on note $I(a)$ la valeur de l'intégrale impropre.
- Soit $a\in\mathcal D$. Démontrer que $\displaystyle I(a)=\frac1{a^2}-\frac{2}{a^2}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx$.
- Démontrer que la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{x}{(1+x^2)^2}$ est bornée sur $\mathbb R_+$.
- En déduire que $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx=0$.
- Déterminer un équivalent simple de $I(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.
Exercice 38 - Une intégrale dépendant d'un paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$. On définit, lorsque l'intégrale est convergente,
la fonction
$$\phi(x)=\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}.$$
- Déterminer le domaine de définition de $\phi$.
- Démontrer que $\phi$ est décroissante sur son domaine de définition.
- Déterminer la limite de $\phi$ en $+\infty$.
Enoncé
On note, pour tout $n\in\mathbb N^*$, sous réserve d'existence, $\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x+n}dx.$
- Justifier l'existence de $I_n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$.
- Établir que $(I_n)$ converge vers $0$.
- Démontrer que $I_n\sim_{+\infty}\frac 1n.$
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ intégrable.
- Démontrer que, pour tout $A>0$, $\int_0^A f(t)\cos(xt)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
- En déduire que $\int_0^{+\infty} f(t)\cos(xt)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercices théoriques
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $[0,+\infty[$. On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $\int_x^{x+1}f(t)dt\xrightarrow{x\to+\infty}0$.
Enoncé
Soit $I$ un intervalle et $f,g,h:I\to\mathbb R$ continues par morceaux. On suppose que $f$ et $h$ sont intégrables sur $I$ et que $f\leq g\leq h.$ Démontrer que $g$ est intégrable sur $I$.
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f$ et $f'$ soient intégrables sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $f$ tend vers $0$ en $+\infty$.
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux et intégrable.
- Démontrer que, pour tout $A>0$ et tout $\veps>0$, il existe $x\geq A$ tel que $|xf(x)|\leq \veps$.
- En déduire l'existence d'une suite $(x_n)$ tendant vers $+\infty$ telle que $\big(x_nf(x_n)\big)$ tend vers 0.
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue décroissante telle que $\int_0^{+\infty} f(t)dt$ converge.
- Démontrer que $f\geq 0$.
- Démontrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
- Justifier que $\int_{x/2}^x f(t)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
- En déduire que $xf(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercice 46 - Fonction intégrable et limites en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ un réel et $f$ une application continue de $[a,+\infty[$ dans $\mathbb R$, intégrable sur $[a,+\infty[$.
- Montrer que si $f$ admet une limite en $+\infty$, cette limite est nécessairement nulle.
- Montrer que si $f$ est uniformément continue, alors elle tend vers 0 en $+\infty$.
- Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement $f$ continue?
Enoncé
Soit $f:[a,b[\to\mathbb R_+$ continue et croissante. On note
$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}nf\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)$.
- On suppose que $\int_a^b f(t)dt$ converge. Montrer que la suite $(S_n)$ converge vers $\int_a^b f(t)dt$.
- On suppose que $\int_a^b f(t)dt$ diverge. Montrer que la suite $(S_n)$ tend vers $+\infty$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue de carré intégrable de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb R$.
- Prouver que, pour tous $0\leq a\leq b$, on a $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|\leq \sqrt{b-a}\left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}.$$
- En déduire que $$\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt x}\int_0^x f(t)dt=0.$$
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to]0,+\infty[$ de classe $C^1$ telle qu'il existe $a<0$ satisfaisant
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}= a$. Montrer que $f$ et $f'$ sont intégrables sur $[0,+\infty[$.
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R)$ telle que $f$ et $f''$ sont de carré intégrable.
- Démontrer que $f'$ est de carré intégrable.
- Démontrer que $\left(\int_{\mathbb R}f'^2\right)^2\leq \left(\int_{\mathbb R}f^2\right)\left(\int_{\mathbb R}f''^2\right).$
Petits problèmes
Exercice 51 - Exercice de synthèse sur l'intégration [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x>0$, on note $\varphi(x)=\exp\left(\frac 1{\sqrt x}\right)$ et $f(x)=\int_{x}^{2x}\varphi(t)dt$.
- Justifier que $f$ est bien définie sur $]0,+\infty[$.
- Exprimer $f$ en fonction d'une primitive $\phi$ de $\varphi$. En déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
- Montrer que, pour tout $x>0$, $f'(x)$ est du signe de $u(x)=2-\exp\left(\frac\alpha{\sqrt x}\right)$ avec $\alpha=1-\frac1{\sqrt 2}$. En déduire les variations de $f$ sur $]0,+\infty[$.
- Démontrer que, pour tout $x>0$, $$x \exp\left(\frac 1{\sqrt{2x}}\right)\leq f(x)\leq x\exp\left(\frac 1{\sqrt x}\right).$$
- En déduire les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$, puis un équivalent de $f(x)$ en $+\infty$.
- Quelle est la nature de l'intégrale généralisée $\int_1^{+\infty}f(x)dx$?
- Quelle est la nature de l'intégrale généralisée $\int_0^1 f(x)dx$ (on pourra faire le changement de variables $u=1/\sqrt x$)?
Enoncé
Dans toute la suite, $f:\mathbb R\to\mathbb R$ désigne une fonction continue et $a$ un réel strictement positif. Pour tout $\lambda$ réel, on note $I(\lambda)=\int_a^{+\infty}\frac{\lambda-f(t)}{t}dt$ lorsque cette intégrale impropre existe.
- On suppose qu'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ pour lesquels $I(\lambda)$ et $I(\mu)$ convergent. Démontrer que $\lambda=\mu$.
- Pour tout $x$ réel, on pose $H_\lambda(x)=\int_a^x \big(\lambda-f(t)\big)dt$.
- Justifier que $H_\lambda$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$ et préciser $H_\lambda'(x)$.
- Démontrer que si $H_\lambda$ est bornée sur $\mathbb R$, alors $I(\lambda)$ existe et $I(\lambda)=\int_a^{+\infty}\frac{H_{\lambda}(t)}{t^2}dt$.
- Désormais, on suppose en outre que $f$ est $T$-périodique, $T>0$.
- Démontrer que la fonction $\varphi$ qui à tout $x$ réel associe $\varphi(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt$ est constante. Montrer alors que l'on a, pour tout réel $x$, $$H_\lambda(x+T)-H_\lambda(x)=\lambda T-\int_0^T f(t)dt.$$
- Démontrer qu'il existe une unique valeur $\lambda_0$ du réel $\lambda$ pour laquelle la suite $(H_\lambda(a+nT))_{n\in\mathbb N}$ est bornée.
- Prouver que, dans ce cas, la fonction $H_\lambda$ est périodique et bornée dans $\mathbb R$.
- Déterminer alors toutes les valeurs du réel $\lambda$ pour lesquelles $I(\lambda)$ converge.
- Dans le cas où $\lambda_0\neq 0$, déterminer un équivalent de $\int_a^x \frac{f(t)}{t}dt$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
Enoncé
- Montrer que pour tout $x>0$, l'intégrale
$\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt$ est convergente.
On pose $F(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt$ si $x>0$. - Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer $F'$.
- Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)$.
- On cherche un équivalent de $F(x)$ lorsque $x\to 0^+$.
- Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac{e^{-t}-1}{t}$ se prolonge par continuité en $0$.
- Démontrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in]0,1]$, $$\left|\int_x^1 \frac{e^{-t}-1}{t}dt\right|\leq C.$$
- En déduire que $F(x)\sim -\ln x$ lorsque $x\to 0^+$.
- On cherche un équivalent de $F(x)$ lorsque $x\to +\infty$.
- Montrer que pour tout $x>0$, l'int\'egrale $\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\,dt$ est convergente.
- Montrer que pour tout $x>0$, $\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\,dt \le \frac1xF(x)$.
- A l'aide d'une intégration par parties, en déduire que $F(x)\sim \frac{e^{-x}}{x}$ lorsque $x\to +\infty$.
Enoncé
L'objectif de ce problème est l'étude de la fonction dilogarithme définie par :
$$Li(x)=\int_1^x \frac{\ln(t)}{1-t}dt.$$
- Questions préliminaires : on pose, pour $t>0$ et $t\neq 1$ et pour $x> 0$,
$$f(t)=\frac{\ln(t)}{1-t},\ g(x)=\frac{x}{e^x-1}.$$
- Démontrer que $f$ se prolonge par continuité en 1 et que $g$ se prolonge par continuité en $0$.
- Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, $0\leq g(x)\leq 1$.
- Démontrer que le domaine de définition de la fonction dilogarithme est $[0,+\infty[$.
- Justifier soigneusement que la fonction dilogarithme est dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ et donner l'expression de sa dérivée.
- Pourquoi $Li$ est-elle continue en $0$?
- Dans cette question, on se propose de calculer $Li(0)$.
- Démontrer que $Li(0)=\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}dx$.
- Justifier que, pour tout $k\geq 1$, l'intégrale $\int_0^{+\infty}xe^{-kx}dx$ est convergente, et calculer sa valeur.
- Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $$S_n=\sum_{k=1}^n \int_0^{+\infty}xe^{-kx}dx.$$ Démontrer que $$Li(0)-S_n=\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-nx}}{e^x-1}dx.$$
- En déduire que $$0\leq Li(0)-S_n\leq\frac 1n.$$
- En admettant que $$\sum_{k\geq 1}\frac 1{k^2}=\frac{\pi^2}6,$$ démontrer que $$Li(0)=\frac{\pi^2}6.$$
- Quelle est la nature de $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{1-t}dt$? En déduire la limite de $Li(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
- Donner la représentation graphique de la fonction $Li$.
- On pose, pour tout $x\in ]0,1[$, $$u(x)=Li(x)+Li(1-x),$$ $$v(x)=-\ln(1-x)\ln(x).$$ Démontrer qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in ]0,1[$, $$u(x)=v(x)+C.$$
- Déterminer $C$.