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#1 26-11-2021 07:23:00

user1992
Membre
Inscription : 06-03-2021
Messages : 13

Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps fini $\mathbb{K}$ de cardinal $q$.

On souhaite dénombrer l'ensemble $X$ des sous espaces vectoriels de dimension $k \leq n$ défini par :   $$X : =\{ F \subset E, \dim F = k \}.$$

Soit $x \in X$, j'ai un peu de mal à décrire l'orbite de $x$. J'ai tenté le raisonnement suivant :

Considérons l'action du groupe linéaire $GL_{n}(E)$ sur $X$. Soit $(f_1, f_2, \cdots, f_k) = : x$ une base de $F$.
L'orbite de $x$ pour cette action contient les images par $g \in GL_{n}(E) $ d'une base de $F$ ce qui signifie qu'un élément de l'orbite est donc de la forme $(g(f_1), g(f_2), \cdots, g(f_k))$ qui reste une base car $g$ conserve la dimension. On peut donc affirmer que l'orbite de $x$ est $X$.

Qu'en pensez vous ?

D'avance merci pour vos retours.

User.

Dernière modification par user1992 (26-11-2021 07:24:46)

Hors ligne

#2 26-11-2021 07:35:00

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 229

Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

  Pour le moment, tu n'as démontré que l'orbite de $x$ est contenu dans $X$. Il te faut aussi démontrer que si $G$ est n'importe quel élément de $X$, il existe $g\in GL_n(E)$ tel que $g.x=G$.

F.

Hors ligne

#3 26-11-2021 16:36:25

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 602

Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

Peux-tu dénombrer le nombre total de familles libres à k éléments dans l'espace entier E?
Tu peux dénombrer le nombre de bases d'un sev F de dimension k ?
En commençant par la deuxième question (en voyant que c'est Card( GL(k) ) puisqu'un automorphisme est définie par sa base image),
il est plus facile de répondre à la première, en suivant la même démarche.

En divisant l'un par l'autre, cela donne la réponse.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#4 03-12-2021 10:24:16

user1992
Membre
Inscription : 06-03-2021
Messages : 13

Re : Action de groupes et dénombrement.

Fred a écrit :

Bonjour,

  Pour le moment, tu n'as démontré que l'orbite de $x$ est contenu dans $X$. Il te faut aussi démontrer que si $G$ est n'importe quel élément de $X$, il existe $g\in GL_n(E)$ tel que $g.x=G$.

F.

Bonjour Fred,

Soit $y \in X $. Posons $ y = (y_1, \cdots, y_k)$ où $(y_1, \cdots, y_k)$ est  une famille libre et génératrice de $F$. D'après le théorème fondamental de l'algèbre linéaire il existe un $g$ dans le groupe linéaire tel que pour tout $i = 1, \cdots, k $, $g \cdot x_i = y_i$ et les $x_i$ forment bien une famille libre qui engendrent un espace de dimension $k$ de sorte que $x = (x_1, \cdots, x_k) \in X$. On a donc bien $X \subset \mathcal{O}_x$ et au final $X = \mathcal{O}_x$.

Ainsi l'action du groupe linéaire sur $X$ ne possède qu'une seule orbite. On remarque a fortiori que l'action est transitive. Aurait on pû procéder autrement et poser directement : $x,y \in X$ ($x,y$ deux bases de F), d'après le théorème fondamental il existe (un unique) $g$ dans le groupe linéaire qui réalise $g \cdot x = y$ et conclure  que cette action ne possède qu'une seule orbite ?

User.

Hors ligne

#5 03-12-2021 10:29:46

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 229

Re : Action de groupes et dénombrement.

Bonjour,

  Les deux preuves que tu proposes sont plus ou moins la même chose, non???
En tout cas, elles prouvent bien qu'il n'y a qu'une seule orbite.

A+
F.

Hors ligne

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