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#1 29-11-2021 11:32:51

Sergei19
Invité

Exercice sur les séries

Bonjour,
J’aurais besoin d’une indication pour l’exercice suivant :

Soient Un et Vn deux suites à termes strictement positifs. La série de terme général Vn converge et pour tout n, U(n+2)/U(n) <= V(n+2)/V(n)

Il faut montrer que la série de terme général Un converge.

Merci de votre aide.

#2 29-11-2021 14:25:21

Paco del Rey
Invité

Re : Exercice sur les séries

Bonjour Sergei.

Tu peux démontrer que les séries \(\sum_n u_{2n}\) et \(\sum_n u_{2n+1}\) convergent.

Paco.

#3 29-11-2021 14:36:49

Sergei19
Invité

Re : Exercice sur les séries

Bonjour,
Merci. C’est justement ce que j’ai essayé de faire en considérant Wn = Un/Vn dont les termes pairs et impairs convergent. Mais cela ne permet pas de conclure…

#4 29-11-2021 15:27:23

Paco del Rey
Invité

Re : Exercice sur les séries

Supposons $a_n$ et $b_n$ deux suites à termes positifs vérifiant $\forall n\in \mathbb N$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ et $k>0$ tel que $a_0\leqslant kb_0$.

Peux-tu démontrer que  $\forall n\in \mathbb N$, $a_n \leqslant kb_n$ ?

Paco.

#5 29-11-2021 15:42:59

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 602

Re : Exercice sur les séries

Bonjour,

si ça permet de conclure, si tu ajoute les deux , la série-somme est convergente et de sommes partielles les sommes jusqu'à un rang impair.
Les sommes partielles jusqu'à un rang pair sont forcément encadrées par celles jusqu'au rang impair, toutes à termes positifs, donc convergent aussi, et vers la même limite qui est la somme des deux séries. Par exemple:
$u_0 + u_1 \le u_0 + u_1 + u_2 \le   u_0 + u_1 + u_2  + u_3$ et il suffit d'appliquer le théorème des gendarmes.



A.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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