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- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 29-11-2021 12:32:51
- Sergei19
- Invité
Exercice sur les séries
Bonjour,
J’aurais besoin d’une indication pour l’exercice suivant :
Soient Un et Vn deux suites à termes strictement positifs. La série de terme général Vn converge et pour tout n, U(n+2)/U(n) <= V(n+2)/V(n)
Il faut montrer que la série de terme général Un converge.
Merci de votre aide.
#2 29-11-2021 15:25:21
- Paco del Rey
- Invité
Re : Exercice sur les séries
Bonjour Sergei.
Tu peux démontrer que les séries \(\sum_n u_{2n}\) et \(\sum_n u_{2n+1}\) convergent.
Paco.
#3 29-11-2021 15:36:49
- Sergei19
- Invité
Re : Exercice sur les séries
Bonjour,
Merci. C’est justement ce que j’ai essayé de faire en considérant Wn = Un/Vn dont les termes pairs et impairs convergent. Mais cela ne permet pas de conclure…
#4 29-11-2021 16:27:23
- Paco del Rey
- Invité
Re : Exercice sur les séries
Supposons $a_n$ et $b_n$ deux suites à termes positifs vérifiant $\forall n\in \mathbb N$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ et $k>0$ tel que $a_0\leqslant kb_0$.
Peux-tu démontrer que $\forall n\in \mathbb N$, $a_n \leqslant kb_n$ ?
Paco.
#5 29-11-2021 16:42:59
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 299
Re : Exercice sur les séries
Bonjour,
si ça permet de conclure, si tu ajoute les deux , la série-somme est convergente et de sommes partielles les sommes jusqu'à un rang impair.
Les sommes partielles jusqu'à un rang pair sont forcément encadrées par celles jusqu'au rang impair, toutes à termes positifs, donc convergent aussi, et vers la même limite qui est la somme des deux séries. Par exemple:
$u_0 + u_1 \le u_0 + u_1 + u_2 \le u_0 + u_1 + u_2 + u_3$ et il suffit d'appliquer le théorème des gendarmes.
A.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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