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#1 27-11-2021 13:32:46

MikeB
Membre
Inscription : 20-11-2021
Messages : 7

Changement de variables dans une intégrale

Bonjour à tous,

Faut-il préciser que la fonction utilisée est bijective lors d'un changement de variable ?
Voir un exemple ci-dessous :


Théorème :  Soit $\Phi:[a,b]\rightarrow I$ une application de classe $C^1$ et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$.

Alors $\displaystyle \int_a^b f\circ\Phi(t)\times\Phi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)}f(t)\mathrm{d}t$


Application : Calcul de $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{25\pi}{4}}\sin t\cos t\mathrm{d}t$

En utilisant $\Phi(t)=\sin t$ qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ alors $\Phi'(t)=\cos t$ et $f(t)=t$  on obtient :

$\displaystyle \int_{0}^{{\small \tfrac{25\pi}{4}}}\sin t\cos t\mathrm{d}t=\int_{\sin 0}^{{\small \sin \tfrac{25\pi}{4}}}t\mathrm{d}t=\int_{0}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}t\mathrm{d}t=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{4}$

Dernière modification par yoshi (27-11-2021 15:02:44)

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#2 27-11-2021 14:37:12

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 401

Re : Changement de variables dans une intégrale

Bonjour MikeB,
Si j'ai bien compris ta question, dans le théorème que tu cites $\Phi$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle d'intégration, donc pas nécessairement bijective sur ce même intervalle.
"bijectif" n'est pas équivalent à "de classe $C^1$


Les maths c'est plus facile quand on connaît la réponse.

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#3 27-11-2021 15:48:07

MikeB
Membre
Inscription : 20-11-2021
Messages : 7

Re : Changement de variables dans une intégrale

Ok bijective et de classe C1 sont différents.
La question est le changement de variable nécessite-t-il un changement bijectif ?

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#4 27-11-2021 18:09:25

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 401

Re : Changement de variables dans une intégrale

re,
sur l'exemple d'application que tu donnes le changement de variable est non injectif sur l'intervalle d'intégration, donc non bijectif et le résultat est effectivement 1/4.
D'une manière générale je pense que la bijectivité du changement de variable n'est qu'une condition suffisante.
On doit pouvoir trouver d'autres exemples avec des fonctions trigonométriques notamment...
PS : Si dans toj exemple d'application tu déplaces les bornes d'intégrations de multiples de $2\pi$ tu retrouves encore le même résultat, ce qui peut être troublant..

Dernière modification par Zebulor (27-11-2021 18:21:23)


Les maths c'est plus facile quand on connaît la réponse.

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#5 27-11-2021 18:22:09

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 229

Re : Changement de variables dans une intégrale

Bonjour,

  Comme tu pourras le lire sur cette page, le changement de variables, s'il est écrit comme tu l'as fait, ne nécessite pas que $\phi$ soit bijective
(en fait, cette formule, c'est plus ou moins la formule de la dérivée d'une fonction composée, qu'on applique à $F=f\circ\phi$).

F.

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#6 27-11-2021 20:22:21

MikeB
Membre
Inscription : 20-11-2021
Messages : 7

Re : Changement de variables dans une intégrale

Merci Fred pour ta réponse.
J'ai bien le même théorème que celui de la page mentionnée.

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