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#1 27-11-2021 13:40:50

MikeB
Membre
Inscription : 20-11-2021
Messages : 7

Exercice de série issu de bibmath

Bonjour à tous,

Voici un exercice et son corrigé issu du site :

Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$

Contrairement à ce qu'on pourrait penser à première vue, la série ne vérifie pas le critère des séries alternées car la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante. On peut prouver sa convergence à l'aide d'un développement limité du terme général. Toutefois, ceci ne permet pas de calculer la somme. Pour ce dernier problème, il faut regrouper deux par deux (astuce!). En effet, on a :

\[v_n=u_{2n}+u_{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{-1}{2n(2n+1)}\]

On ne change pas la nature d'une série DONT LE TERME GÉNÉRAL TEND VERS 0 en regroupant un nombre BORNÉ de termes. Ainsi, les séries de terme général $u_n$ et $v_n$ sont de même nature, et en plus elles ont même somme. Or, il est clair que la série de terme général
$v_n$
est convergente (comparaison à une série de Riemann). En outre, on peut calculer la somme de cette série. En effet,

\[V_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} v_k=\sum_{k=1}^{2p+1}\dfrac{1}{p}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p}\]

Utilisant $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p}=\ln n +\gamma
+o(1)$ on a :

\[V_n=\ln(2n+1)-1-\ln(n)+o(1)\]

Ainsi $V_n \rightarrow \ln(2)-1$


Je ne saisis pas le sens de l'expression "en regroupant un nombre borné de termes".

Un nombre borné de termes  i.e un nombre fini , ce qui n'est pas le cas.
Et  si on regroupe par deux les termes de la série [tex]$(-1)^n$[/tex] on obtient des résultats faux.

Je pense plutôt que l'on montre que la série est convergente alors o peut regrouper comme on le souhaite les termes de la séries sans en modifier la nature.

Qu'en pensez-vous?

Dernière modification par yoshi (27-11-2021 15:04:09)

Hors ligne

#2 27-11-2021 13:46:30

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 602

Re : Exercice de série issu de bibmath

Bonjour,

Celle que tu donnes en exemple n’a pas son terme général qui tend vers 0.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#3 27-11-2021 15:46:43

MikeB
Membre
Inscription : 20-11-2021
Messages : 7

Re : Exercice de série issu de bibmath

Effectivement , ce n'est pas un bon exemple.
Ma question demeure sur le sens de l'expression "en regroupant un nombre borné de termes".

Hors ligne

#4 27-11-2021 18:24:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 229

Re : Exercice de série issu de bibmath

Bonjour,

  Quand on dit "un nombre borné de termes", on veut dire un nombre fini de termes, mais où le "fini" est lui-même majoré.
Par exemple, ça ne marche pas si $v_1=u_1$, $v_2=u_2+u_3$, $v_3=u_4+u_5+u_6$, etc....
mais ça marche si parfois on prend deux termes, parfois on prend trois termes par exemple.

F.

Hors ligne

#5 27-11-2021 20:18:03

MikeB
Membre
Inscription : 20-11-2021
Messages : 7

Re : Exercice de série issu de bibmath

Merci Fred pour ta réponse. Je ne comprenais pas pourquoi nombre fini n'était pas employé.

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