Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 27-11-2021 14:33:11

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 73

Isomorphisité d'un groupe

Bonjour
Ma question c'est si on a un groupe d'ordre 9 alors pourquoi elle est isomorphe à Z/9Z ou (Z/2Z)^2 ?
Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît .

Hors ligne

#2 27-11-2021 15:42:34

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 602

Re : Isomorphisité d'un groupe

Bonjour,

Faux pour le second, $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$ OK.

On peut montrer que c’est général pour les groupes dont l’ordre est le carré d’un premier.
En étudiant le centre du groupe, on montre qu’il est commutatif.
Puis soit un élément est d’ordre 9, donc G est cyclique, soit tout élément non neutre est d’ordre 3 d’après le théorème de Lagrange.
Dans ce cas un morphisme naturel (à cause de la commutativité ) surjectif applique  le groupe produit sur  G,  et comme les ordres sont égaux c’est un isomorphisme.

plus précisément, dans le second cas

en prenant un x dans G, d'ordre 3 et un y hors de <x> l'application $( x^i , y^j) \rightarrow x^iy^j$ est bien un morphisme, son image est un sous-groupe contenant au moins 4 éléments, donc à 9 éléments (Lagrange) , il est donc surjectif, donc bijectif puisque les cardinaux des deux groupes sont égaux.

Alain

Dernière modification par bridgslam (29-11-2021 15:21:15)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt un plus onze
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums