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#1 27-11-2021 14:40:50
- MikeB
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Exercice de série issu de bibmath
Bonjour à tous,
Voici un exercice et son corrigé issu du site :
Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$
Contrairement à ce qu'on pourrait penser à première vue, la série ne vérifie pas le critère des séries alternées car la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante. On peut prouver sa convergence à l'aide d'un développement limité du terme général. Toutefois, ceci ne permet pas de calculer la somme. Pour ce dernier problème, il faut regrouper deux par deux (astuce!). En effet, on a :
\[v_n=u_{2n}+u_{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{-1}{2n(2n+1)}\]
On ne change pas la nature d'une série DONT LE TERME GÉNÉRAL TEND VERS 0 en regroupant un nombre BORNÉ de termes. Ainsi, les séries de terme général $u_n$ et $v_n$ sont de même nature, et en plus elles ont même somme. Or, il est clair que la série de terme général
$v_n$
est convergente (comparaison à une série de Riemann). En outre, on peut calculer la somme de cette série. En effet,
\[V_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} v_k=\sum_{k=1}^{2p+1}\dfrac{1}{p}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p}\]
Utilisant $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p}=\ln n +\gamma
+o(1)$ on a :
\[V_n=\ln(2n+1)-1-\ln(n)+o(1)\]
Ainsi $V_n \rightarrow \ln(2)-1$
Je ne saisis pas le sens de l'expression "en regroupant un nombre borné de termes".
Un nombre borné de termes i.e un nombre fini , ce qui n'est pas le cas.
Et si on regroupe par deux les termes de la série [tex]$(-1)^n$[/tex] on obtient des résultats faux.
Je pense plutôt que l'on montre que la série est convergente alors o peut regrouper comme on le souhaite les termes de la séries sans en modifier la nature.
Qu'en pensez-vous?
Dernière modification par yoshi (27-11-2021 16:04:09)
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#2 27-11-2021 14:46:30
- bridgslam
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Re : Exercice de série issu de bibmath
Bonjour,
Celle que tu donnes en exemple n’a pas son terme général qui tend vers 0.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#4 27-11-2021 19:24:52
- Fred
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Re : Exercice de série issu de bibmath
Bonjour,
Quand on dit "un nombre borné de termes", on veut dire un nombre fini de termes, mais où le "fini" est lui-même majoré.
Par exemple, ça ne marche pas si $v_1=u_1$, $v_2=u_2+u_3$, $v_3=u_4+u_5+u_6$, etc....
mais ça marche si parfois on prend deux termes, parfois on prend trois termes par exemple.
F.
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