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#1 26-11-2021 12:33:15

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 157

Problème de Cauchy

Bonjour,
soient $a$ et $b$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On considère le problème de Cauchy
$$
\begin{cases}
y'=a(x)y+b(x),\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$
Comment prouver que ce problème admet une solution unique sur l'intervalle $I$ sans appliquer directement le théorème de Cachy Lipscitz?

Merci d'avance pour votre aide.

Hors ligne

#2 26-11-2021 14:15:24

Paco del Rey
Invité

Re : Problème de Cauchy

Bonjour Capucine.

En trois étapes.
1) Tu résous l'équation homogène $y' = a(x)y$ en exhibant une solution qui ne s'annule pas sur $I$.
2) Tu résous l'équation $y' = a(x)y + b(x)$ en exhibant une solution particulière par la variation de de la constante.
3) Tu résous le problème de Cauchy et tu constate qu'il n'y a qu'une solution.

Sinon Lipschitz pour l'orthographe.

Paco.

#3 26-11-2021 14:16:51

Paco del Rey
Invité

Re : Problème de Cauchy

...et "tu constates" pour mon orthographe.

Paco.

#4 26-11-2021 18:59:31

Paco del Rey
Invité

Re : Problème de Cauchy

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