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#1 12-10-2021 20:09:45

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 61

homomorphisme de Q dans Q*

Bonsoir
Je voudrais montrer que Hom( (Q,+); (Q*,×)) est presque  trivial.

Lorsque je considéré f un morphisme de Q dans Q* alors pour tout rationnel a et b on a f(a+b)= f(a)f(b)
Comme a et b rationnelle il existe p,q,r,s entier tel que a=p/q et b=r/s
Donc f(p/q + r/s) =f(p/q)+ f(r/s)
Or f(p/q)=pf(1/q)   f(r/s)=rf(1/s)   
f(p/q +r/s)=(ps+rq)f(1/pq)   

               

Après ça je ne sais pas comment continuer



Merci d'avance

Dernière modification par pentium mix (12-10-2021 20:14:14)

Hors ligne

#2 13-10-2021 08:21:43

Paco del Rey
Invité

Re : homomorphisme de Q dans Q*

Bonjour.

Suppose qu'il existe $r\in\mathbb Q$ tel que $f(r) = 2$.
Que peux-tu dire de $f(r/2)$ ?

Paco.

#3 Hier 08:19:35

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : homomorphisme de Q dans Q*

Bonjour,

Tu dois montrer que si f existe, par analyse synthèse :

[tex]\forall r \in \mathbb{Q} \; f(r) = f(1)^r[/tex]  (pas dur).

Ensuite f(1) > 0 car c'est un carré.

Mais par ailleurs en notant a le rationnel positif f(1) , on a [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*  \; a^{1/n} \in \mathbb{Q}^*[/tex]
On peut montrer (si on veut faire les choses à fond, car cela paraît plutôt normal ) qu'alors on a nécessairement f(1) = 1.

indice

Ecrire que [tex]\forall n \in \mathbb{N^*} \exists  b \in \mathbb{Q^{*+}} \; tel \;que \;a = b^n[/tex].
En déduire que a= b =1

preuve

En écrivant a et b sous forme irréductible, [tex]a=\frac{p}{q} , b=\frac{s}{t}[/tex] on montre facilement que
en posant [tex]N = \lfloor sup( log_2 p , log_2 q  ) \rfloor +1 [/tex] si p et q sont >1 l'égalité [tex]b^N = a[/tex] impliquerait a = 1,
contradiction.
C'est de l'arithmétique élémentaire.

Synthèse:
Un tel morphisme est l'application constante 1.

Dernière modification par bridgslam (Aujourd'hui 16:44:48)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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