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#1 06-10-2021 12:36:01

Hysed
Membre
Inscription : 06-10-2021
Messages : 7

Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour,

Je voudrais juste savoir comment on appelle le type de preuve utilisé quand on prouve l'inégalité triangulaire en valeur absolue (pas en algèbre linéaire avec les normes, mais [tex]\mathbb{R}[/tex].
Je parle de cette preuve là :

Quand [tex]xy\geq0[/tex] : [tex]|x+y|=|x|+|y|[/tex]
Quand [tex]xy< 0[/tex] : [tex]|x+y| \leq |x| + |y|[/tex]

Je détaille pas car c'est simple, mais je ne sais pas dans quel type de preuve on peut ranger cela, merci de m'aiguiller.

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#2 06-10-2021 13:05:28

Paco del Rey
Invité

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour Hysed.

Je dirais par disjonction de cas.
J'ai juste ?
(Je ne suis pas très doué en didactique institutionnelle.)

Paco.

#3 06-10-2021 13:11:45

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 280

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour,

Pourquoi utilises-tu une inégalité large dans le membre de droite de  : Quand xy < 0 : |x+y| <= |x| + |y|

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#4 06-10-2021 16:13:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Paco del Rey a écrit :

Bonjour Hysed.

Je dirais par disjonction de cas.
J'ai juste ?
(Je ne suis pas très doué en didactique institutionnelle.)

Paco.

Je ne suis pas beaucoup plus doué mais c'est ce que j'aurais dit aussi

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#5 06-10-2021 17:20:50

alm
Membre
Inscription : 23-09-2014
Messages : 3

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour,
Moi aussi, je dirais la même chose et j'essaye de le justifier comme suit: On a [tex]\mathbb R^2=A\cup B[/tex] avec [tex]A=\{(x,y)\in\mathbb R^2/xy \geq 0\}[/tex] et  [tex]B=\{(x,y)\in\mathbb R^2/xy < 0\}[/tex] , donc une propriété [tex]\mathcal P[/tex]  est vraie sur [tex]\mathbb R^2[/tex] si et seulement elle est vraie sur [tex]A[/tex] et sur [tex]B[/tex].

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#6 07-10-2021 07:06:11

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour,

Pour moi, le qualificatif "disjonction des cas" porte sur la démonstration elle-même du résultat, pas le résultat en soi.
Ici, on peut montrer ce résultat sans aucune disjonction des cas (par exemple en développant le carré de x+y).

La majorité des résultats en mathématiques reviendraient sinon à des disjonctions de cas dans leur expression, ce qui n'est pas forcément le cas dans les preuves sous-jacentes.

Notamment quand tu écris: "je parle de cette preuve-là"... je ne vois pas une preuve mais un résultat...

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-10-2021 07:09:46)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 07-10-2021 08:28:38

Hysed
Membre
Inscription : 06-10-2021
Messages : 7

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Paco del Rey a écrit :

Bonjour Hysed.

Je dirais par disjonction de cas.
J'ai juste ?
(Je ne suis pas très doué en didactique institutionnelle.)

Paco.

Bous avez parfaitement raison, c'est une petite erreur que j'ai fait au moment d'écrire


Donc, c'est une disjonction de cas, merci beaucoup

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#8 07-10-2021 08:29:45

Hysed
Membre
Inscription : 06-10-2021
Messages : 7

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

bridgslam a écrit :

Bonjour,

Pour moi, le qualificatif "disjonction des cas" porte sur la démonstration elle-même du résultat, pas le résultat en soi.
Ici, on peut montrer ce résultat sans aucune disjonction des cas (par exemple en développant le carré de x+y).

La majorité des résultats en mathématiques reviendraient sinon à des disjonctions de cas dans leur expression, ce qui n'est pas forcément le cas dans les preuves sous-jacentes.

Notamment quand tu écris: "je parle de cette preuve-là"... je ne vois pas une preuve mais un résultat...

Alain

Bonjour Alain, alors, je suis désolé, mais je vois pas en quoi on ne peut pas considérer cela comme une preuve.
Pouvez-vous expliquer pourquoi ce serait un résultat à la place ?
Merci beaucoup

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#9 07-10-2021 11:05:49

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour,

Il suffit de vous relire...: vous écrivez un résultat, pas sa démonstration, c'est antinomique.
Logiquement je ne peux rien dire ( disjonction des cas ou pas) sur la preuve qui a conduit au résultat.
La disjonction des cas est une méthode de démonstration, qui n'apparaît pas dans vôtre post.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#10 12-10-2021 15:36:03

Hysed
Membre
Inscription : 06-10-2021
Messages : 7

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

bridgslam a écrit :

Bonjour,

Il suffit de vous relire...: vous écrivez un résultat, pas sa démonstration, c'est antinomique.
Logiquement je ne peux rien dire ( disjonction des cas ou pas) sur la preuve qui a conduit au résultat.
La disjonction des cas est une méthode de démonstration, qui n'apparaît pas dans vôtre post.

Alain

Mais justement, je comprends pas pourquoi ce serait un résultat et non une preuve de la propriété qu'est l'inégalité triangulaire sur $\mathbb{R}$.

Je mets pas les détails, mais il s'agit juste de partir de la définition de la valeur absolue, et d'utiliser cette définition pour trouver que quand $x$ et $y$ sont de même signe, on a la première égalité $|x+y|=|x|+|y|$, et que quand $x$ et $y$ sont de signe différent, on a la seconde inégalité, $|x+y| <|x|+|y|$
Et que quand on agrège ces deux résultats ensemble, on a l'inégalité triangulaire.

Sachant, qu'on part d'une définition et qu'on utilise les opérations définies sur la structure algébrique dans laquelle on joue, et on arrive à une propriété non triviale, ça m'a l'air d'être une démonstration possible permettant d'arriver au résultat qu'est l'inégalité triangulaire.
Je ne vois donc pas pourquoi vous dites que ce qui est écrit est le résultat, et non sa démonstration, même si je pense que c'est parce que je n'avais pas bien détaillé au préalable, et je m'en excuse.

Merci d'avance d'éclaircir mon incompréhension.

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#11 13-10-2021 17:37:26

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour,

Si vôtre preuve se scinde  en deux parties déductives, c’est bien une disjonction des cas.
Au départ vôtre post est juste un fait, d’où ma remarque.
Et il y a au moins 2 autres moyens sans aucune disjonction des cas d’y arriver.

Alain


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