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#1 12-10-2021 14:41:21

Zarathoustram
Membre
Inscription : 01-12-2019
Messages : 17

L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour tout le monde !

Dans mes petites révisions, je suis tombé sur le théorème (dit fondamental ?) suivant: L'image d'un compact par une application continue est compact. Problème: dans la démonstration, il est supposé que les espaces de départ et d'arrivé sont des espaces métrique. Ou encore, dans mon cours, il est seulement supposé que l'espace d'arrivé est séparé.
Je me suis donc attelé à la tâche de le démontrer en toute généralité, ça me parait correcte, mais étant donnée que je ne suis pas tombé dessus, je préfère poster ma démonstration ici pour qu'on me confirme sa justesse, ou que l'on me dise où je me suis trompé (histoire que je ne débite pas des aberrations par la suite...).
La voici:

Soient E, F, deux espaces topologiques et $f : E \rightarrow F$ une application continue.
Soient $K \subset E$, un compact et $L := f (K)$.
Soient $(V_i)_{i \in I} \subset \mathcal{T}_E$ un recouvrement ouvert de $L$ et $(U_i)_{i \in I}$ défini par $U_i := f^{- 1} (V_i)$.

Par continuité de $f$, les $U_i$ sont ouverts. De plus, $K \subset\underset{i \in I}{\cup} U_i$.
Par compacité, il existe $J \subset I$, fini, tel que $K \subset\underset{i \in J}{\cup} U_i$.
Donc $L = f (K) \subset f \left( \underset{i \in J}{\cup} U_i \right) \subset
\underset{i \in J}{\cup} f (U_i)$=$\underset{i \in J}{\cup} V_i$.

Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant !

Hors ligne

#2 12-10-2021 17:07:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour,

Cela m'a l'air correct!

F.

Hors ligne

#3 13-10-2021 15:05:46

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte

Bonjour,

Avec les définitions classiques un compact est aussi séparé, d’où l’hypothèse en plus d’espace d’arrivée séparé...
Ou alors on ne lit pas la même littérature...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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