Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 24-09-2021 12:10:22

danielrene
Membre
Inscription : 24-01-2021
Messages : 8

signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Bonjour à tous ceux que cette question intéresse et merci d'avance.

J'arrive à  montrer que la signature de n permutations à cycles disjoints est égale aux produits des signatures des permutations élémentaires
[ tex] \[ \varepsilon(\sigma_{n}\circ \dots  \circ \sigma_{2} \circ \sigma_{1}) \;=\;  \varepsilon(\sigma_{n}) \dots   \varepsilon(\sigma_{2})  \varepsilon(\sigma_{1}) \]  [ /tex]

Ceci est-il vrai lorsque les cycles sont disjoints?

Merci d'avance à tous ceux qui sauront me répondre car je n'ai pas trouvé de réponse sur les forums.

Daniel-René

Hors ligne

#2 24-09-2021 12:34:55

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Bonjour,

Ce que je comprends de ta question ( dis moi si je me trompe ):

Tu as une permutation p produit de n permutations ( que tu nommes élémentaires (?) ).
Au moyen de décompositions en produits de cycles à supports disjoints de chaque permutation élémentaire, tu as pu montrer
( par un moyen ou un autre ) que la signature de p est le produit des signatures des permutations élémentaires.

La signature étant juste fonction de la permutation, tout reste inchangé, même si tes cycles de décomposition sur les permutations élémentaires ne sont pas disjoints. L'égalité est toujours vraie.
La décomposition en cycles disjoints dans l'exercice a seulement servi de moyen de calcul intermédiaire pour montrer cette égalité,
qui est toujours vraie ( puisque toute permutation se décompose en produits de cycles disjoints, ce calcul sera toujours juste).
On aurait d'ailleurs pu se limiter à un produit de deux permutations élémentaires, puis jouer sur une récurrence sur n.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#3 24-09-2021 13:04:31

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Par-contre ( selon la définition prise pour la signature, surtout au moyen de décompositions ) , il faut valider le fait qu'elle est caractéristique
de la signature et pas de la décompositions choisie.
S'il s'agit d'un exercice lié à une définition au moyen de décompositions ( transpositions, cycles...) il vaut mieux donner l'énoncé complet pour situer dans quel contexte on se place...
Par exemple si ici elle était donnée à partir des orbites de p, qui sont en fait caractéristiques de p, la signature est bien une fonction de p.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#4 25-09-2021 07:26:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Bonjour,

  La signature est un morphisme du groupe des permutations $S_n$ dans $(\mathbb C^*,\times)$. Donc, pour toutes les permutations $\sigma_1,\dots,\sigma_n$, $\varepsilon(\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_n)=\varepsilon(\sigma_1)\circ\cdots\circ\varepsilon(\sigma_n)$.

F.

Hors ligne

#5 25-09-2021 08:22:52

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Bonjour,

C'est sûr, mais la démarche dans son exercice ( dont je n'ai pas le début ) semblait montrer cette égalité à partir de décompositions et définition antérieurs.
Par exemple si on lui a défini la signature que sur des cycles, ou un produit de cycles disjoints, ou le nombre d'orbites, sa question avait un sens, car stricto sensu on ne sait pas si elle est fonction de la permutation en soi.
Dans tout cela c'est dommage de ne pas avoir les énoncés complets, en tous cas depuis le début.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#6 02-10-2021 21:01:46

danielrene
Membre
Inscription : 24-01-2021
Messages : 8

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Bonjour à tous et merci pour vos réponses.
La difficulté pour moi est celle-ci:
Soit  Bonjour à tous et merci pour vos réponses.
La difficulté pour moi est celle-ci:
Soit[tex] \sigma_{1} [/tex] et [tex] \sigma_{2}  [/tex] deux permutations  de S[tex]_{8}  [/tex] dont les cycles non-disjoints sont
[tex]
\sigma_{1} = (1, \,2, \, 3, \,4) \qquad \sigma_{2} = (1, \,2, \, 5, \,6, \,8) \\
\varepsilon(\sigma_{1})=(-1)^{4-1}=-1   \qquad    \varepsilon(\sigma_{2})=(-1)^{5-1}=1 \\
  \varepsilon( \sigma_{2} \circ \sigma_{1})  =(-1)^{4}(-1)^{3}=-1 = \varepsilon( \sigma_{2})\varepsilon( \sigma_{1})\\
[/tex]
Maintenant soit aprés calculs
[tex]
\sigma=\sigma_{2} \circ \sigma_{1}= (1, \,2, \, 5, \,6, \,8)(1, \,2, \, 3, \,4)= (1,\, 5, \,6, \,8)(2, \, 3, \,4)\\
\varepsilon( \sigma_{2} \circ \sigma_{1})=(-1)^{3}(-1)^{2}=-1
[/tex]
Le nombre de [tex]k-cycles[/tex] change mais la signature ne change pas.

Hors ligne

#7 03-10-2021 07:29:34

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

Bonjour,

Oui c'est un résultat, c'est ce que je voulais signifier dans mes posts.
Il y a plusieurs façons de définir la signature, mais elle est attachée à la permutation, pas à la façon dont on peut la décomposer, tout cela se démontre.
La définition dont tu sembles partir est donc au moyen du cardinal n et du nombre d'orbites d'une permutation, ce sont des invariants de la permutation.
De mémoire c'est ce que fait le Ramis ( Algèbre 1).
Ensuite on peut démontrer qu'il s'agit d'un morphisme, comme Fred te l'a mentionné.
Il est donc normal d'avoir ces propriétés.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#8 03-10-2021 07:38:33

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : signature de la composition de permutations à cycles disjoints où non

danielrene a écrit :

Le nombre de [tex]k-cycles[/tex] change mais la signature ne change pas.

Il change pour tes sous-permutations que tu peux faire varier à loisir, mais pas pour la permutation elle-même, et la définition part de là:

L'ordre est celui-ci :
1)
Définition d'une signature à partir du cardinal n et du nombre d'orbites: cela est fixé par la permutation...
Il y a d'autres moyens ( à partir des inversions) mais celui-ci en est un.

2)
C'est un morphisme .... voir Fred

3)
On peut décomposer comme on veut la permutation, on trouvera toujours pareil

4)
On peut montrer que les autres définitions de la signature reviennent au même.

Si tu peux mettre la main dessus, je te conseille le paragraphe là-dessus dans le Ramis d' algèbre 1 ière année.

Il est par-contre certain que si on t'a "défini" la signature comme le produit des signatures des cycles quelconques d'une décomposition, il y a un gros souci, car hormis la décomposition en cycles disjoints, elle n'est pas unique, et absolument rien ne dit qu'on va trouver pareil...
pour toutes les décompositions... Cela ne peut pas constituer un point de départ brut.


Alain

Dernière modification par bridgslam (04-10-2021 14:53:01)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt neuf plus cinquante et un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums