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#1 22-09-2021 22:39:07

Rosee
Invité

Le complexe

bonjour,
J 'ai un problème en ce qui concerne les racines nièmes de l'unité
Donc l'exercice est le suivant :
On demande de calculer |z|² tel que
Z=somme de w^k² et w =e^(2ipi/n)
Donc j'ai suivi les indications j'ai commencé par écrire
|z|²=z×conjuguéde z
Puis l écrire sous forme de double sommation  puis j'ai regroupé la somme diagonale mai après je ne sais pas comment continuer .

#2 23-09-2021 06:56:43

Paco del Rey
Invité

Re : Le complexe

Bonjour Rosee.

Si j'ai bien compris ton énoncé, tu cherches à calculer une somme de Gauss.

Il n'y a pas de méthode simple.

Il serait peut-être bon que tu postes les indications.

Paco.

#3 23-09-2021 08:30:37

Rosee
Invité

Re : Le complexe

Bonjour,
Je ne veux pas calculer la valeur exacte de la somme mais son module au carré voici les indications :
Ecrire |z|² comme une qomme double
Regrouper les termes diagonalement en tenant compte de la périodicité de la fonction : k->w^k .

#4 23-09-2021 09:10:27

Paco del Rey
Invité

Re : Le complexe

Tu peux écrire
[tex]\begin{align*}
S \overline S &= \sum_{k,\ell = 0}^{n-1} \exp(2i\pi(k^2-\ell^2)/n)\\
&= \sum_{k,\ell = 0}^{n-1} \exp(2i\pi(k-\ell)(k+\ell)/n)\\
&=  \sum_{d = 0}^{n-1} \sum_{\ell = 0}^{n-1} \exp(2i\pi d(d-2\ell)/n)
\end{align*}
[/tex]
où on a posé $d = k + \ell$.

À la fin on trouve quelque chose qui fait penser à une transformée de Fourier.

Paco.

#5 23-09-2021 12:29:03

Rosee
Invité

Re : Le complexe

Bonjour,
D'abord merci bien pour votre réponse.
Dans votre réponse on n'a pas utilisé la périodicité d'après les indications il faut effectuer un changement de variable en utilisent qu'on a  w^k²=w^(k+n)²

#6 23-09-2021 12:37:56

Paco del Rey
Invité

Re : Le complexe

Si tu regardes bien, j'ai utilisé la périodicité.

Paco.

#7 02-10-2021 15:41:02

Paco del Rey
Invité

Re : Le complexe

Je n'aime pas laisser un exercice inachevé :

Maintenant on a \( \sum\limits_{\ell = 0}^{n-1} \exp(-4i\pi d\ell/n) = 0 \) sauf si \( 2d \) est un multiple de \( n \), c'est-à-dire sauf si \( d = 0 \) ou \( d = n/2 \). Dans ces cas exceptionnels, \( \sum\limits_{\ell = 0}^{n-1} \exp(-4i\pi d\ell/n) = n \).

premier cas : \( n \) est impair, et alors \( S \overline S =  \exp(2i\pi 0^2/n) \times n = n \).

deuxième cas : \( n \) est pair et \( n = 2p \). On a alors
\begin{align*}
S \overline S &= \exp(2i\pi 0^2/n) \times n + \exp(2i\pi p^2/2p) \times n\\
&= n + n \exp(ip\pi).
\end{align*}
À nouveau deux cas :

Si \( p \) est pair -- c'est-à-dire si \( n \equiv 0 \mod 4 \) -- alors \( S \overline S = 2n \).

Si \( p \) est impair -- c'est-à-dire si \( n \equiv 2 \mod 4 \) -- alors \( S \overline S = 0 \).

Ces résultats sont compatibles avec ceux donnés dans le lien plus haut.

Paco.

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