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#1 20-09-2021 11:23:49

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 16

limites supérieure et inférieure

Bonjour,

J'essaie de me remettre à la théorie de la mesure, et j'essaie notamment de comprendre en profondeur toutes les notions de base.

Première difficulté : les limites inf et sup

On définit donc [tex]U_n=(u_k,k\ge n)[/tex] avec [tex](u_n)[/tex] une suite bornée, et on pose [tex]v_n=inf(U_n)[/tex] et [tex]w_n=sup(U_n)[/tex].

Je conçois aisément que pour tout [tex]n\ge 0[/tex], [tex]U_{n+1}=(u_{n+1},u_{n+2},u_{n+3},...)[/tex] est inclus dans [tex]U_n=(u_{n},u_{n+1},u_{n+2},...)[/tex], mais pourquoi cela entraîne-t-il que [tex]inf U_n \le inf U_{n+1}[/tex] ?

Comment le comprendre ?

Merci d'avance !

Dernière modification par Thgues (20-09-2021 11:24:34)

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#2 20-09-2021 11:53:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : limites supérieure et inférieure

Bonjour,

  Plus généralement, si $A\subset B$, on a toujours $\inf(B)\leq \inf(A)$.
En effet, la borne inférieure de $B$ est le plus grand des minorants de $B$.
En particulier, c'est un minorant de $B$. Puisque $A$ est contenu dans $B$, $\inf(B)$ est un minorant de $A$.
Il est donc inférieure ou égal à $\inf(A)$, qui est le plus grand des minorants de $A$.

F.

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#3 20-09-2021 12:29:59

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 16

Re : limites supérieure et inférieure

Genial, merci !!

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#4 22-09-2021 14:31:34

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 16

Re : limites supérieure et inférieure

Bonsoir Fred,

Je continue mes prérigrinations...

Toujours pour cette suite de nombres réels [tex](x_n)[/tex], on définit la limite sup par :

[tex]\lim sup(x_n)=\lim_{n\to +\infty} sup_{k\ge n}=inf_{n\in N} sup_{k\ge n} x_k[/tex]

Pourquoi demander que la limite du plus petit des majorants des termes de la suite [tex]x_n[/tex] soit égale au plus grand des minorants du plus petit des majorants des termes de la suite [tex]x_n[/tex] ?
Je m'y perds.

Merci d'avance pour les explications.

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#5 22-09-2021 15:31:36

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : limites supérieure et inférieure

Bonsoir,

Le sup en question, lié à la suite et au rang n considéré, est une fonction décroissante de n. Il tend vers la borne inférieure ( éventuellement -inf) des images de cette suite de sups, c'est classique, et tout à fait normal, comme propriété des suites monotones.
On ne "demande" rien du tout, c'est un fait.
La définition est soit par la limite, soit par le inf, l'égalité entre les deux est une propriété, par une définition...

En ce qui concerne ces limites sup et lim inf d'une suite, il vaut peut-être mieux les voir au départ comme des valeurs d'adhérences particulières ( resp. la plus grande et la plus petite, ce qui a un sens, non trivial d'ailleurs ) pour mieux visualiser ce que c'est.
Ensuite montrer que ça coïncide avec tes définitions.
Il y a plein de bonnes docs sur la toile sur ces sujets-là, par exemple un papier de Dany Jack Mercier très bien fait.
C'est aussi dans les ouvrages de base en analyse pour le supérieur.
Elles servent aussi dans des critères de convergence de certaines séries, plus fins que les limites.

Bon courage pour la théorie de la mesure, c'est "du lourd" quand on veut toutes les preuves.

Alain

Dernière modification par bridgslam (22-09-2021 15:55:34)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#6 29-09-2021 07:57:01

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 16

Re : limites supérieure et inférieure

Merci énormément bridgslam, et navré pour ma réponse tardive.

Il y a également l'excellent pdf d'Etienne Mathéron sur la théorie de la mesure.

A bientôt

Hors ligne

#7 29-09-2021 08:41:10

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : limites supérieure et inférieure

Bonjour,

Pas de souci.
Le cours de Charles Suquet (Lille?) est bien aussi. J'avais personnellement plutôt travaillé avec celui-ci.
Sinon en ligne ( mais en anglais sauf erreur ) les pages de probability tutorials de Noël Vaillant sont très bien faites, mais très formelles parfois.
Les théorèmes, lemmes... sont avancés sous forme d'exercices guidés.
Bon courage.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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