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#1 26-09-2021 22:17:53

Neyras
Invité

Z fermé de R mais pas fermé de R barre

Bonjour,

En se plaçant sur les topologies de l’ordre de R et R barre, je ne comprends pas pourquoi Z n’est pas un fermé de R barre alors qu’il est bien un fermé de R.
Peut-être mon problème vient-il que je ne comprends pas bien le complémentaire de Z dans R barre. En espérant que quelqu’un puisse m’aiguiller.

Merci d’avance pour vos réponses

#2 27-09-2021 05:43:35

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Z fermé de R mais pas fermé de R barre

Bonjour


Dans [tex]\overline{ \mathbb{R}}[/tex] , la partie  [tex] \mathbb{Z}[/tex] admet les points +inf et -inf comme points adhérents (*), qui ne sont pas dans l'ensemble des entiers.
Par-contre dans l'ensemble des réels ( non achevé) , cet ensemble est égal à son adhérence (**), donc fermé.
De manière générale, l'adhérence d'une partie varie selon l'espace topologique dans lequel on se place.

(*) tout intervalle [tex]] x , +\infty][/tex] contient un entier...
(**) aucun point d'accumulation

Comme dans nôtre tête la topologie réelle est plus visualisable par des distances, si tu représentes [tex][-\infty ; +\infty] [/tex] par un segment symbolique ( écart fini ), il faut bien que les entiers se tassent aux bords pour que ça rentre. C'est l'idée, qu' on retrouve aussi
lorsqu' on exprime un homéomorphisme de [tex]\overline{ \mathbb{R}}[/tex] avec un vrai segment.

Si tu souhaites passer par le complémentaire dans [tex]\overline{ \mathbb{R}}[/tex] ([tex] \mathbb{Z}^c[/tex]) de  [tex] \mathbb{Z}[/tex], il faut montrer qu'il n'est pas ouvert, donc qu'il existe un élément de cette partie tel que aucun intervalle ouvert de  [tex]\overline{ \mathbb{R}}[/tex]qui le contienne n'est contenu dans [tex] \mathbb{Z}^c[/tex].
Or pour tout x, [tex][-\infty ; x[ [/tex] .... car  [tex] \mathbb{Z}[/tex] n'est pas minoré dans [tex]\mathbb{R}[/tex], donc on peut prendre [tex]-\infty[/tex] comme élément valable.
Le complémentaire de [tex] \mathbb{Z}[/tex] n'étant pas ouvert, [tex] \mathbb{Z}[/tex]  n'est pas fermé.

Alain

Dernière modification par bridgslam (27-09-2021 14:03:44)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#3 27-09-2021 18:37:15

Dorian
Invité

Re : Z fermé de R mais pas fermé de R barre

Merci pour votre réponse je comprends mieux. Cependant, en quoi le fait que tout intervalle ]x,+inf] contienne un entier justifie que Z admet +inf et -inf comme points adhérents?
Car j’ai appris que l’adhérence de Z est le plus petit fermé  qui contient Z donc j’aurais supposé que l’adhérence de Z est R barre mais je ne suis pas sûr.

#4 28-09-2021 05:34:20

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Z fermé de R mais pas fermé de R barre

Bonjour,

C’est la définition d’un point adhérent a à une partie A pour un espace topologique  T: tout ouvert de T contenant a contient un point de A.
Pour la topologie de l’ordre, comme les intervalles ouverts en sont une base, il suffit de faire les preuves avec des intervalles ouverts.
Ici une borne infinie ne peut pas s’isoler de l’ensemble des entiers.
Ici , en prenant l’opposé il suffit de montrer que c’est vrai pour une borne infinie pour avoir la même propriété  pour l’autre.
Le cours dit que le plus petit fermé dans T contenant A coïncide avec l’ensemble des points adhérents dans T de A.
L’adhérence de A est la réunion de A et des points d’accumulation de A.
Une partie est fermée si elle est identique à son adhérence.
Ici +inf  et -inf sont même des points d’accumulation de [tex]\mathbb{Z}[/tex], les seuls d’ailleurs,, et même des entiers pairs, des impairs, des nombres premiers etc.
Si au lieu de [tex]\mathbb{Z}[/tex] tu prenais [tex]\mathbb{Z^*} \cup \{ 1/n\}_{ n \in \mathbb{Z^*}}[/tex] , il y aurait 3 points adhérents qui n’en feraient pas partie ( toujours les mêmes et 0 ).

Le complémentaire de [tex]\mathbb{Z}[/tex] dans [tex]\overline{\mathbb{R}}[/tex] est tout ce qui n’est pas un entier relatif, donc tout réel non entier, et les bornes infinies en font partie.
J’espère avoir été plus clair.

Alain

Dernière modification par bridgslam (28-09-2021 05:50:38)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 28-09-2021 16:36:42

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Z fermé de R mais pas fermé de R barre

Bonsoir,

Pour résumer [tex]Adh_{\mathbb{R}}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[/tex]
Vu dans la droite numérique classique, les entiers ne "collent" qu'à eux-mêmes ( c'est toujours le minimum attendu !)
Dans ce cadre, c'est donc un fermé, d'ailleurs son complémentaire est une réunion d'intervalles ouverts:
[tex]\mathbb{Z}^c = \cup_{n \in \mathbb{Z}} ] n , n+1[ [/tex]

Mais  [tex]Adh_{\mathbb{\overline{R}}}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} \cup \{ -\infty, +\infty\}[/tex]
Dans la droite numérique achevée, il faut inclure les deux seuls éléments annexes auxquels les entiers se collent.
Cette fois le complémentaire de [tex] \mathbb{Z}[/tex] dans [tex]\mathbb{\overline{R}}[/tex] ne peut pas être une réunion d'intervalles ouverts: +inf appartiendrait forcément à un intervalle ouvert comme ]x , +inf] , qui contient forcément des entiers - contradictoire.



Alain


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