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#1 24-09-2021 11:26:06

Basile1111
Invité

Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

J'ai une exercice à faire de combinatoire et j'aurai une question:

Pour I et J des parties de $\mathbb{N}$, et f une application de l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$,
est ce que $\sum I \supseteq J \sum J \supseteq I $ f(J) est  égale à $\sum J \cap I $ f(J$ \cap$ I )?

Merci pour votre aide.

#2 24-09-2021 11:42:37

bridgslam
Membre
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Peux-tu préciser ce que représentent tes symboles, notamment les sigmas, pas bien compris ta demande... encore moins l'expression globale

Merci
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#3 24-09-2021 14:21:43

Basile1111
Invité

Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour Alain et merci,

I et J sont des  parties de $\mathbb{N}$ soit des parties de [1,n],  les sigmas sont des sommes et les autres symboles des inclusions ou intersections.
Ma question est:
Est ce que la somme sur I inclus dans J de la somme sur J inclus dans I de f(J) est égale à la somme sur I$\cap$J de f(I$\cap$J)?
Merci.
Basile

#4 24-09-2021 15:08:24

Paco del Rey
Invité

Re : Somme d'ensembles et inclusion

C'est incompréhensible. Quelles sont les variables - donc muettes - de sommation ?

Paco.

#5 24-09-2021 15:35:40

Basile1111
Invité

Re : Somme d'ensembles et inclusion

Les variables de sommation sont les f(J), f étant une application des parties de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
Merci

#6 24-09-2021 15:39:52

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Re-bjr,

Je ne comprends pas non plus ton sujet. Scanne stp le texte exact, ou bien donne la référence (lien ?)  là ça n'a pas de sens.
Désolé,

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 24-09-2021 15:40:34

Paco del Rey
Invité

Re : Somme d'ensembles et inclusion

Non, ce n'est pas ce que j'entends par variable de sommation.

Quand j'écris $S_n = \sum\limits_{k=0}^n k^2$, la variable de sommation (ou l'indice si tu préfères) est $k$.
C'est une variable muette dans la mesure où
$S_n = \sum\limits_{j=0}^n j^2$.

Paco.

#8 24-09-2021 16:04:08

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Je pense comprendre ce que veut dire Basile, et c'est exact.
La somme des  f(K) prise sur tous les I , J avec I contenant J et J contenant K est bien égale à la somme des  [tex]f( I \cap J )[/tex]
étendue à tous les I, J inclus dans le référentiel (  [1,n]  ?  )

Alain


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#9 24-09-2021 16:10:55

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

On a [tex]\sum_{( I,J ,K) \in \mathcal{P}( [1,n] )^3, K \subset J \subset I } f(K)[/tex] est égal à [tex]\sum_{(I,J) \in \mathcal{P}([1,n])^2 } f( I \cap J) [/tex].
Effectivement.
On peut considérer tous les couples (I,J), couples de parties de [1,n] et voir ce qui se passe...

Alain

Dernière modification par bridgslam (29-09-2021 14:16:50)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#10 24-09-2021 16:23:21

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Pour s'aider on peut voir qu'on obtient une même intersection K d'une partie I avec une partie I'  en considérant [tex]J = I \cup ( I' \backslash I)[/tex]

Alain


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#11 24-09-2021 16:55:06

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

On peut faire un essai rapide en prenant pour f (X) ( par exemple ) la somme des entiers constituant X ( on va pas s'embêter ) , 0 si vide.

En prenant l'étude sur E = {1,2} le calcul donne 12 dans les deux façons de faire ( 16 intersections possibles , les f() valent 0 pour 9 intersections, 1 pour 3 intersections, 2 pour 3 intersections, et 3 pour la partie pleine E.
L'autre calcul est plus pénible, mais on trouve pareil.
Si on détaille avec ce f là:

J                      [tex]\supset[/tex]                 I                   [tex]\supset[/tex]                K                       f(K)
{1,2}                                 {1,2}                                  {1,2}             3
{1,2}                                 {1,2}                                   {1}               1
{1,2}                                 {1,2}                                   {2}               2
{1,2}                                 {1,2}                                   [tex]\emptyset[/tex]                  0

{1,2}                                 {1}                                      {1}               1
{1,2}                                 {1}                                      [tex]\emptyset[/tex]                  0   
{1,2}                                 {2}                                      {2}               2
{1,2}                                 {2}                                      [tex]\emptyset[/tex]                  0
{1,2}                                  [tex]\emptyset[/tex]                                        [tex]\emptyset[/tex]                  0

{1}                                    {1}                                      {1}               1
{1}                                    {1}                                       [tex]\emptyset[/tex]                 0
{1}                                    [tex]\emptyset[/tex]                                          [tex]\emptyset[/tex]                  0

{2}                                    {2}                                      {2}               2
{2}                                    {2}                                       [tex]\emptyset[/tex]                0
{2}                                    [tex]\emptyset[/tex]                                           [tex]\emptyset[/tex]                0
[tex]\emptyset[/tex]                                        [tex]\emptyset[/tex]                                         [tex]\emptyset[/tex]                 0


                                                                                                   total           : 12

           



On pourrait prendre pour f le produit des constituants, leur moyenne, le cardinal de X, le log de Card(X)+1 , le max,  le min, l'âge de la lune ou je ne sais quoi !
Pour E on peut choisir un ensemble fini quelconque dans [tex]\mathbb{N}[/tex], et même dans un ensemble quelconque, puisque on n'utilise que des propriétés ensemblistes, du moment que f est définie.
Il est nécessaire quand même que E soit fini pour que le nombre de parties de E le soit aussi et pouvoir sommer...
Alain

Dernière modification par bridgslam (24-09-2021 22:42:06)


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#12 25-09-2021 04:36:43

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Afin de bien se persuader pourquoi ça fonctionne, en termes plus matheux, on a simplement une bijection entre les triplets ( J,I,K) emboîtés descendants ( J contient I contient K ) et les couples (X,Y) en posant X=I et Y=K U (J\I). Comme K est justement l'intersection de X et Y c'est tout bon...
On peut s'amuser à écrire sa réciproque...

expression de la bijection réciproque

[tex] (X,Y) \rightarrow (  X \cup Y ,  X , X \cap Y ) [/tex] me semble bien faire l'affaire...

Alain

Dernière modification par bridgslam (25-09-2021 08:41:32)


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#13 26-09-2021 11:12:22

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Je ne comprenais pas l’expression initiale, notamment les [tex]\Sigma [/tex], qui existent aussi comme sommes disjointes au sens des ensembles dans la théorie (surtout vu le titre du post !), mais le reste de la notation n’avait plus aucun sens, et des additions numériques, qui ne précisaient pas qu’elles portaient sur un nombre fini de parties.
Quant aux expressions ensemblistes, il ne sautait pas aux yeux qu’elles servaient d’indices...
Et même avec ça la dernière indexation était un non sens.

C’ était quand-même plus simple d’écrire, pour ne pas se transformer en cryptographe:

[tex]\sum_{J\supset I }\sum_{I \supset K} f(K) = \sum_{(I,J)} f(I \cap J)[/tex] ... en indiquant aussi que les parties étaient issues d’ un ensemble fini.

Dernière séance de "décodage" pour moi sur le forum, je ne regarderai plus que les énoncés propres.
Merci donc de soigner vos questions pour qu’on y comprenne quelque chose...

Alain

Dernière modification par bridgslam (30-09-2021 13:43:33)


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#14 26-09-2021 12:26:14

yoshi
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

@bridglsam
Je comprends ta frustration. Ce n'est pas le 1er sujet où cela se produit et ce ne sera pas, hélas, le dernier.

Cela figure pourtant dans nos Règles :

* Présentation du sujet. Rien n'est plus pénible qu'un sujet incomplet ou réinterprété par celui qui demande de l'aide : avant de cliquer sur le bouton Valider, dans votre intérêt, assurez-vous que votre texte soit une copie conforme de votre énoncé. Faute de quoi, il n'y serait probablement pas répondu et votre discussion fermée avec une invite à recommencer.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#15 26-09-2021 13:26:42

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Heureusement, l’intérêt final à cette fois-ci bien compensé le décryptage ( très laborieux), mais bien poser la question en lieu et place du message initial, y rajouter une hypothèse indispensable, finit sur le temps par m’agacer un tantinet. Sans parler, parfois, des choses fausses à prouver...( oubli d’un signe etc ).
Un peu  à moyennement titillé, mais sans méchanceté, il y a des choses plus graves dans la vie.

Merci pour la règle que je ne connaissais pas et qui pourrait mériter de "blinker" juste à la première fois sur le site...

Alain


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#16 26-09-2021 14:43:05

Basile1111
Invité

Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Merci pour vos réponses et votre acharnement à me déchiffrer.
C'était mon premier message en Latex et je n'ai pas su le rédiger correctement. Désolé.
La vraie question était la suivante :
Est ce que $\sum_{I\supset J }\sum_{J \supset I} f(J) = \sum_{I \cap J} f(I \cap J)$ ?
Encore désolé et merci à Alain.
Basile

#17 26-09-2021 22:23:45

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

C'est pour f(I) et pas f(J) que ce sera vrai, si on suit vos indexations, là c'est faux.

En plus donner les mêmes indices muets dans les deux sommes à gauche rajoute de la confusion même si l'écriture reste correcte sauf l'indexation du terme de droite sans aucun sens.
En résumé, c'est faux tel que c'est écrit.
Il faut remplacer f(J) par f(I) pour que ce soit juste... et remplacer à droite l'indice [tex]I \cap J[/tex] par [tex]I,J[/tex].
Alain

Dernière modification par bridgslam (27-09-2021 06:10:22)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#18 27-09-2021 04:56:24

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

Une analogie pour ta somme indexée de droite? Que vaut [tex]\sum_{i+j} f( i+j)[/tex] ?
Ca s'appelle une expression mal formée, l'indexation n'est pas sémantiquement correcte.
Dans la tienne, en admettant que I et J parcourent toutes les parties, comme l'indice est leur intersection, qui peut valoir toutes les parties,
tu exprimes à droite la somme de tous les f( X), X parcourant l'ensemble des parties... tu ne passes qu'une unique fois sur une partie quelconque. Ce n'est pas le but.
Une même partie pouvant être intersection de deux parties de multiples façons, on sous-estime de beaucoup ce qu'on veut (supposé, avec de l'imagination ) calculer...
Comme je l'ai indiqué dans un message précédent, je stoppe ce type de correction où il faut tout reprendre: l'écriture de l'expression, les erreurs d'indices etc avant de piger ce que cela peut bien vouloir dire...

Alain

Dernière modification par bridgslam (27-09-2021 05:36:43)


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#19 28-09-2021 09:32:29

bridgslam
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Re : Somme d'ensembles et inclusion

Bonjour,

On peut y trouver quelques applications de dénombrements.
Si f est par exemple la fonction indicatrice de [tex]\{\emptyset\}[/tex] ( nulle partout sauf 1 pour l'ensemble vide) l'application immédiate de
l'égalité donne le nombre de couples distincts (X,Y) d'intersection vide:
Toute partie contenant [tex]\emptyset[/tex], cela revient d'après cette égalité à trouver le nombre de couples (J,I) tels que [tex]J \supset I[/tex], la réponse étant immédiate.
On peut bien-sûr dans ce cas simple procéder par dénombrement direct, mais cela peut donner un exemple de procédé de dénombrement
en utilisant une fonction ad hoc.
En faisant "varier" f, calculer la  somme des [tex]Card( X \cap Y )[/tex], des [tex]Card( X \cap Y )^2[/tex], le nombre de couples (X,Y) dont le cardinal de l'intersection dépasse un entier fixé, etc.
Les possibilités utiles sont nombreuses.

Alain


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