Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 27-09-2021 10:41:14

yerbabuena
Membre
Inscription : 27-09-2021
Messages : 3

transformée d'un signal au sens des distributions

Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide pour un exercice de théorie du signal, je dois calculer la transformée de Fourier au sens des distributions d'un certain signal et je ne suis pas sûr de comprendre ce qu'est ce "sens des distributions", je m'explique : pour parler de distribution, on doit avoir une forme linéaire de S(R) dans R avec S(R) l'espace des fonctions de Schwartz réelles, T qui est la distribution. On prend alors une fonction test dont on calcule l'image par T.  Ensuite, on étend la notion de transformée de Fourier aux distributions, pour calculer des transformées non définies au sens classique (toujours avec une fonction test).
Mais dans la pratique, jamais on ne prend une telle fonction, on se lance dans le calcul sans expliquer (on = dans mon cours), ce que je ne comprends pas.
En particulier, j'aimerais calculer la transformée de [tex]\Delta_{\epsilon }(t)=T_{e}\sum_{n=-\infty }^{+\infty}{\delta _{\epsilon }}(t-nT_{e})[/tex]
Avec [tex]{\delta _{\epsilon }}(t)=rect(\frac{t- \frac{\epsilon}{2}}{\epsilon })[/tex] Avec rect(t), la fonction qui vaut 1 entre -1/2 et 1/2, 0 sinon ; epsilon qu'on fait tendre vers 0 pour obtenir un Dirac, et Te la période d’échantillonnage.
Ce delta minuscule dont la transformée de Fourier est, il me semble,
[tex]e^{-i\pi f\epsilon }*sinc(f\epsilon )[/tex]  avec sinc, la fonction sinus cardinal (sin(pi*x)/pi*x))
Si je calcule la transformée de delta majuscule en faisant juste "rentrer" la transformée dans la somme et en me ramenant à un calcul de la transformée de delta minuscule, est-ce que cela fonctionne ?
On aurait quelque chose du genre
[tex]F(\Delta_{\epsilon }(t))=T_{e}e^{-i\pi f\epsilon }sinc(f\epsilon )\sum_{n=-\infty }^{+\infty}{e^{-2i\pi fnT_{e}}}[/tex]
Mais ce serait une série divergente...

Merci d'avance !

Hors ligne

#2 27-09-2021 11:22:27

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : transformée d'un signal au sens des distributions

Bonjour,

  J'ai peur de te dire une bêtise (cela fait longtemps que je n'ai pas fait de distributions!), mais ta série $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-2i\pi fnT_\epsilon}$ est une série convergente au sens des distributions.

Je m'explique. Ta fonction $\Delta_\epsilon$, il ne faut pas la voir comme une fonction, mais comme une distribution que je vais noter $T$ sur l'espace des fonctions tests. Et toi, tu cherches la transformée de Fourier de $T$ non pas au sens des distributions, mais au sens des fonctions. Et la série $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}$ converge au sens des distributions. Quand tu calcules
$$\langle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx},\phi\rangle$$
où $\phi$ est une fonction test, tu trouves (à normalisation près) $\sum_n \hat{\phi}(n)$ qui est une série convergente.

F.

Hors ligne

#3 27-09-2021 13:01:24

yerbabuena
Membre
Inscription : 27-09-2021
Messages : 3

Re : transformée d'un signal au sens des distributions

Merci Fred,
Si je te lis bien, tu es en train de me dire que la transformée que j'ai calculée n'est pas la bonne puisque je l'ai calculée au sens de fonction et pas de distribution, c'est ça ?
Merci encore

Dernière modification par yerbabuena (27-09-2021 13:11:57)

Hors ligne

#4 27-09-2021 13:28:50

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : transformée d'un signal au sens des distributions

Pas du tout. J'ai juste dit qu'il ne fallait pas que tu t'inquiètes que la série ne converge pas (en tant que fonction) car elle converge en tant que distribution.
La transformée de Fourier d'une distribution intégrable, c'est la même chose que tu la calcules au sens des distributions ou au sens des fonctions. Ta fonction de départ n'est pas intégrable. Tu ne peux pas calculer sa transformée de Fourier au sens des fonctions. Tu as calculé sa transformée de Fourier au sens des distributions en utilisant des formules de ton cours, et en utilisant que, si $\sum T_n$ converge (chaque $T_n$ est une distribution), alors $\mathcal F(\sum_n T_n)=\sum_n \mathcal F(T_n)$.

F.

Hors ligne

#5 27-09-2021 13:54:30

yerbabuena
Membre
Inscription : 27-09-2021
Messages : 3

Re : transformée d'un signal au sens des distributions

D'accord c'est très clair merci Fred !

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quarantehuit moins quinze
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums