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#1 24-09-2021 08:56:05

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

polynôme complexe borné

Bonjour,

Peut-on montrer sans utiliser le théorème de Liouville que tout polynôme de [tex]\mathbb{C}[/tex](identifié à sa fonction associé) borné
sur [tex]\mathbb{C}[/tex]  est constant, à l'instar des polynômes réels ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#2 24-09-2021 09:28:21

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Bonjour bridgslam

Inégalité triangulaire ?

Paco.

#3 24-09-2021 09:29:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : polynôme complexe borné

Bonjour,

  En se restreignant à la variable réelle (même si les coefficients sont complexes) et en regardant le comportement quand x tend vers l'infini????

F.

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#4 24-09-2021 09:46:23

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : polynôme complexe borné

Bonjour,

J'ai essayé comme cela, cela ne m'a pas permis de conclure proprement.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 24-09-2021 10:30:29

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Supposons $P = \sum\limits_{k=0}^n a_kX^k$ avec $a_n\neq0$ et $n>0$.
On suppose $\forall z \in \mathbb C, \; \vert P(z) \vert \leqslant M$.
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq M + \sum\limits_{k=0}^n \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^n \vert a_k \vert $
ce qui n'est pas possible.

On peut remplacer $\mathbb C$ par n'importe quelle partie de $\mathbb C$ non bornée.

Paco.

#6 24-09-2021 10:34:22

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Même si ce que j'ai écrit précédemment n'est pas faux, il vaut mieux lire :

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
ce qui n'est pas possible.

Paco.

#7 24-09-2021 11:32:21

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : polynôme complexe borné

Bonjour Paco,

Sauf erreur tu utilises la majoration par M de la somme des modules des monômes.
Or on sait seulement que c'est le module de la somme des monômes qui est majoré... pas pareil.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#8 24-09-2021 11:48:12

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$,
$a_nz^n = P(z) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_k \,  z ^{k}$
Donc
[tex]
\begin{align*}
\vert a_n  z^n \vert &\leq \vert P(z) \vert + \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_k \,  z ^{k} \right\vert\\
&\leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k}
\end{align*}
[/tex]
etc.

Paco.

#9 24-09-2021 12:00:17

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : polynôme complexe borné

Paco del Rey a écrit :

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$,
$a_nz^n = P(z) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_k \,  z ^{k}$
Donc
[tex]
\begin{align*}
... + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k}
\end{align*}
[/tex]
etc.

Paco.

Cela revient à ce que j'ai dit, comment majores-tu ensuite ton expression ( avec le module de z au moins égal à 1)...?
Voie sans issue sans autre hypothèse supplémentaire...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#10 24-09-2021 12:12:02

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : polynôme complexe borné

Ce qui est vrai ( pas de [tex]|z|[/tex] en facteur du terme de gauche )

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \ \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $


inégalité qui n'apporte rien puisque l'expression de gauche est une constante, rien de contradictoire.
Un module de z malencontreux ( qui aurait bien arrangé les choses ) a du se glisser dans ton écriture.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#11 24-09-2021 12:37:07

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Au temps pour moi, je n'ai pas divisé par la bonne puissance de $\vert z \vert$

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n-1}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n+1}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
car toutes les puissances de $\vert z \vert$ sont négatives ou nulles.

Enfin on fait tendre $\vert z \vert$ vers $+\infty$ pour obtenir une contradiction.

Paco.

#12 24-09-2021 12:47:09

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : polynôme complexe borné

OK - merci. Pas besoin de Liouville donc.

Alain


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