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#1 03-04-2015 10:48:00

torn
Invité

Transformation de Fourier

Bonjour,
j'ai une autre question s'il vous plaît. Soit la fonction [tex]\phi[/tex] définie pour tout [tex]x \in \R[/tex], par
[tex]\phi(x)= exp^{-\sqrt{2} |x|}[/tex].
1- Calculer la transformation de Fourier de $\phi$.
Pour ca, on a [tex]F(\phi)= \int_{\R} e^{-2 \pi i \nu x} e^{- \sqrt{2} |x|} dx[/tex]. Comment continuer le calcul en présence de la valeur absolue? Je bloque.

2- Soit une fonction f telle que:
[tex]\int_{\R} |f(x)| dx < +\infty[/tex],  et [tex](f*\Phi)(x)=e^{-x^2}[/tex] (où * note le produit de convolution).
Comment calculer [tex]F(f)[/tex] et en déduire f?
Merci beaucoup.

#2 03-04-2015 12:51:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Transformation de Fourier

Salut,

1. Tu coupes l'intégrale en deux (x<0 et x>0).

2. Tu as une formule qui te donne la transformée de Fourier d'un produit de convolution en fonction du produit des transformées de Fourier.
Tu vas en déduire F(f).

Fred.

Hors ligne

#3 03-04-2015 13:10:38

torn
Invité

Re : Transformation de Fourier

1- Calculer la transformation de Fourier de \phi.
on a [tex]F(\phi)= \int_{\R} e^{-2 \pi i \nu x} e^{- \sqrt{2} |x|} dx.[/tex] Ainsi, on a
[tex]F(\phi)= \int_{-\infty}^0 e^{-2 \pi i \nu x} e^{\sqrt{2} x} dx + \int_0^{+\infty} e^{-2 \pi i \nu x} e^{-\sqrt{2} x} dx[/tex]
[tex]= \left[\dfrac{1}{-2 \pi x \nu + \sqrt{2}} e^{x (-2 \pi x \nu + \sqrt{2}}\right]_{-\infty}^0
+ \left[\dfrac{1}{-2 \pi x \nu - \sqrt{2}} e^{x (-2 \pi x \nu +-\sqrt{2}}\right]_{-\infty}^0 [/tex]
par conséquent,[tex] F(f) =\sqrt{2}[/tex]. Je pense que c'est ok pour ce point.

2- Soit une fonction f telle que:
[tex]\int_{\R} |f(x)| dx < +\infty,[/tex]  et [tex](f*\phi)(x)=e^{-x^2}[/tex] (où * note le produit de convolution).
On sait que [tex]F(f*\phi)=F(f)F(\phi)=e^{-x^2}[/tex], ce qui implique que [tex]F(f)=\dfrac{e^{-x^2}}{\sqrt{2}}[/tex]. C'est ok là aussi? Aucun remarque?
Sinon, à quoi sert alors l'hypothèse que[tex] \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|dx < +\infty[/tex]?
Merci beaucoup.

#4 03-04-2015 17:44:14

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Transformation de Fourier

torn a écrit :

1- Calculer la transformation de Fourier de \phi.
on a [tex]F(\phi)= \int_{\R} e^{-2 \pi i \nu x} e^{- \sqrt{2} |x|} dx.[/tex] Ainsi, on a
[tex]F(\phi)= \int_{-\infty}^0 e^{-2 \pi i \nu x} e^{\sqrt{2} x} dx + \int_0^{+\infty} e^{-2 \pi i \nu x} e^{-\sqrt{2} x} dx[/tex]
[tex]= \left[\dfrac{1}{-2 \pi x \nu + \sqrt{2}} e^{x (-2 \pi x \nu + \sqrt{2}}\right]_{-\infty}^0
+ \left[\dfrac{1}{-2 \pi x \nu - \sqrt{2}} e^{x (-2 \pi x \nu +-\sqrt{2}}\right]_{-\infty}^0 [/tex]
par conséquent,[tex] F(f) =\sqrt{2}[/tex]. Je pense que c'est ok pour ce point.

Ce n'est pas possible. La transformée de Fourier d'une fonction intégrable tend vers 0 à l'infini, ce qui n'est pas le cas ici. Revois ton calcul.

torn a écrit :

2- Soit une fonction f telle que:
[tex]\int_{\R} |f(x)| dx < +\infty,[/tex]  et [tex](f*\phi)(x)=e^{-x^2}[/tex] (où * note le produit de convolution).
On sait que [tex]F(f*\phi)=F(f)F(\phi)=e^{-x^2}[/tex], ce qui implique que [tex]F(f)=\dfrac{e^{-x^2}}{\sqrt{2}}[/tex]. C'est ok là aussi? Aucun remarque?
Sinon, à quoi sert alors l'hypothèse que[tex] \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|dx < +\infty[/tex]?

Elle sert au fait qu'on puisse calculer la transformée de Fourier.
Es-tu sûr d'avoir lu ton cours????

F

Hors ligne

#5 03-04-2015 17:54:34

torn
Invité

Re : Transformation de Fourier

Oui, pardon, j'ai un peu tout mélanger.
Pour le calcul, je l'ai refais, et je trouve[tex] F(\phi)= \dfrac{1}{1-\sqrt{2} \pi i \nu}[/tex]. Est-ce qu'on peut m'améliorer? S'il vous plaît.

#6 03-04-2015 20:29:17

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Transformation de Fourier

Je ne crois pas que cela soit correct. Les parties imaginaires des deux intégrales devraient se simplifier !

Hors ligne

#7 03-04-2015 20:50:04

torn
Invité

Re : Transformation de Fourier

Je ne comprend pas, comment on peut simplifier le i? J'ai tout essayé ca ne s'en va pas

#8 03-04-2015 21:06:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Transformation de Fourier

C'est que tu as fait une erreur de calcul!

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#9 03-04-2015 22:31:33

torn
Invité

Re : Transformation de Fourier

Bon voilà, j'ai refais tous les calculs, et il n'y a plus de i. Voici ce que je trouve:
[tex] F(\phi)(\nu) = \dfrac{\sqrt{2}}{1- 2 \pi^2 \nu^2}  [/tex]

Après, on déduit du fait que [tex]F(f*\phi)=e^{-x^2}[/tex], que [tex]F(f)=\dfrac{\sqrt{2}}{1-2 \pi^2 \nu^2} e^{x^2}[/tex].
Maintenant, pour déduire f, on utilise la transformé de Fourier inverse. On a
[tex]f(x) = \int_{\mathbb{R}} F(f)(\nu) e^{2 \pi i x \nu} dx[/tex] qui est égale à
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{2}{1- 2 \pi^2 \nu^2} e^{x^2} e^{2 \pi i x \nu} dx[/tex]
Comment déduire f de cette formule, s'il vous plaît.

#10 04-04-2015 09:09:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Transformation de Fourier

Hello,

  Je pense qu'il y a encore une erreur de calcul. Tu devrais certainement trouver un + au dénominateur plutôt qu'un -.

F.

Hors ligne

#11 04-04-2015 09:44:40

torn
Invité

Re : Transformation de Fourier

Bonjour,
oui, exact, c'est [tex]F(\phi)= \dfrac{\sqrt{2}}{1 + 2 \pi^2 \nu^2}[/tex]
et pour ma question 2 s'il vous plaît?

#12 04-04-2015 10:34:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Transformation de Fourier

Pour le moment, je ne sais pas...

Hors ligne

#13 23-09-2021 18:17:26

Aldric
Invité

Re : Transformation de Fourier

Bonsoir
Calcul de la transformée de Fourier de exp(at^2)
Cordialement

#14 23-09-2021 20:05:49

Paco del Rey
Invité

Re : Transformation de Fourier

Bonjour Aldric.

On peut savoir des choses sur $a$, sur $t$, quelle est la variable, les deux sont des variables pourquoi pas, ou bien tout cela doit rester secret ?

Paco.

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