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#1 18-08-2021 12:27:04

Buu
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Racine d’un polynome

Bonjour,
J’ai un exercice que je n’arrive pas à résoudre:
Soit P un polynôme non nul de C[X] tel que
P(X^2)=P(X)P(X-1)

1) montrer que si a est racine a^2 aussi
En déduire que a =0 ou |a|=1
2) montrer que 0 n’est pas racine de P
3)montrer que si a est une racine de P alors |a+1| =1
4)En déduire les racines de P et son expression

Pouvez vous me donner des pistes  pour la question 3 et 4 (sans me donner la réponse )

Merci

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#2 18-08-2021 12:36:54

Paco del Rey
Invité

Re : Racine d’un polynome

3) Si $a$ est racine de $P$, alors $(a+1)^2$ est aussi une racine de $P$.

Pablo

#3 18-08-2021 13:02:26

Buu
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Re : Racine d’un polynome

Ah oui donc (a+1)^2 = 0 ou (a+1)^2 = 1 d’après la question 1
Mais comment montrer que la premier possibilité est impossible ? Car |a| =1 d’après la question 1

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#4 18-08-2021 14:30:54

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Bonjour,

Si a est racine de P, le carré de a+1  est aussi une racine, donc d'après les premières questions ,  [tex]| (a+ 1)^2 | = 1 = |a+1|^2[/tex]
donc on en déduit [tex]|a+1| = 1[/tex]


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 18-08-2021 14:35:42

Paco del Rey
Invité

Re : Racine d’un polynome

$a+1 = 0$ est impossible d'après la question 2)

Idée : Regarder l'ordre de multiplicité de la racine nulle de $P$.

Pablo.

#6 18-08-2021 14:58:32

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

re-bonjour,

Un coup de pouce pour le 4)
Les renseignements que l'on a:
- si P n'a aucune racine, c'est donc que P est un polynôme constant non nul ( par hypothèse) , tu peux montrer alors que P=1 d'après la relation de départ

- si P a une racine a, on a les propriétés que a est à mi-distance (=1) de -1 et de 0, comme son carré d'ailleurs.
Sauf erreur P est de la forme [tex]\lambda (X - j) (X-j^2)[/tex] avec [tex]j = e^{i2\pi/3}[/tex] et [tex]\lambda [/tex] un complexe non nul,
mais [tex]\lambda = 1  [/tex]  (toujours en regardant la propriété de départ [tex]\lambda^2 = \lambda[/tex] ).
Conclusion:

Un polynôme complexe vérifiant les hypothèses est en fait un polynôme réel :
- Soit P = 1 (pas de racines)
- Soit P = [tex] (X - j) (X-j^2)[/tex] (que je te laisse développer, les racines étant conjuguées, il est dans [tex]\mathbb{R}[X][/tex].

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-08-2021 15:28:30)


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#7 18-08-2021 15:25:48

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Re-bonsoir,

Sinon pour la 2) tu peux montrer par récurrence que si 0 est racine de P, alors pour n entier naturel, si n est racine, [tex](n+1)^2[/tex] est aussi racine, P aurait donc une infinité de racines,
mais un polynôme non nul n'a pas une infinité de racines...

Alain

Dernière modification par bridgslam (19-08-2021 06:40:09)


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#8 19-08-2021 08:19:17

Buu
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Re : Racine d’un polynome

bridgslam a écrit :

re-bonjour,

Un coup de pouce pour le 4)
Les renseignements que l'on a:
- si P n'a aucune racine, c'est donc que P est un polynôme constant non nul ( par hypothèse) , tu peux montrer alors que P=1 d'après la relation de départ

- si P a une racine a, on a les propriétés que a est à mi-distance (=1) de -1 et de 0, comme son carré d'ailleurs.
Sauf erreur P est de la forme [tex]\lambda (X - j) (X-j^2)[/tex] avec [tex]j = e^{i2\pi/3}[/tex] et [tex]\lambda [/tex] un complexe non nul,
mais [tex]\lambda = 1  [/tex]  (toujours en regardant la propriété de départ [tex]\lambda^2 = \lambda[/tex] ).
Conclusion:


Un polynôme complexe vérifiant les hypothèses est en fait un polynôme réel :
- Soit P = 1 (pas de racines)
- Soit P = [tex] (X - j) (X-j^2)[/tex] (que je te laisse développer, les racines étant conjuguées, il est dans [tex]\mathbb{R}[X][/tex].

Alain

Bonjour, je n’ai pas compris comment vous avez trouvé la forme du polynôme P s’il possède une racine

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#9 19-08-2021 08:30:43

Paco del Rey
Invité

Re : Racine d’un polynome

Bonjour Buu.

Tu dessines le cercle trigonométrique. Tu cherches les points du cercle dont l'image par translation de vecteur 1 est encore sur le cercle.
Tu ne trouves que $j$ et $j^2$.

Il est clair qu'il y a d'autres solutions que celles postées par bridgslam.

Paco.

#10 19-08-2021 08:38:39

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Bonjour,

tu remarques juste que les modules de a et de a + 1 sont égaux à 1, si a est une racine.
On peut l'écrire en faisant le calcul, ou directement géométriquement ( remarquer qu'une racine est à l' intersection(s) du cercle unité et du cercle unité de centre -1 ), ce qui reviendra selon moi à trouver j et son conjugué,soit algébriquement, soit géométriquement ( plus rapide
puisqu'on a deux triangles équilatéraux symétriques passant par -1, 0, a,  et donc une mesure des arguments possibles de a est le supplémentaire de pi/3. On trouve alors facilement son carré qui est l'autre ( et unique autre) racine.
On tombe forcément sur j et son carré.
J'espère avoir été clair. A vrai dire, je ne voulais pas tout détailler comme tu le demandais.

Alain


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#11 19-08-2021 11:13:33

Buu
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Re : Racine d’un polynome

Alors en résolvant analytiquement |a|=|a+1|=1
Je trouve que a = [tex]\ e^{i2\pi/3}[/tex] ou
a = [tex]\ e^{-i2\pi/3}[/tex]

Ainsi le polynôme est sous la forme
[tex]\lambda (X - j) (X-j^2) [/tex] = [tex]\ lambda [/tex]*(X^2+X+1)

Réciproquement, si on suppose que ce polynôme est solution on trouve que [tex]\lambda =1 [/tex]

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#12 19-08-2021 11:42:21

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

C'est cela, sans oublier la solution 1 elle-même.
Perso je préfère la solution géométrique qui exploite ici directement les angles et fournit directement la solution.
Mais les deux sont possibles évidemment, et ici c'est aussi relativement rapide en posant que [tex]a = e^{i\theta}[/tex]
puisque a est de module1.
Bon petit exo, où chaque question doit être résolue proprement et posément.
Le mieux est que tu essaies d'en faire de la même "veine" sans aucune aide, un moyen sûr de progresser.

Alain


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#13 19-08-2021 12:03:49

Paco del Rey
Invité

Re : Racine d’un polynome

Je ne comprends pas pourquoi les racines de $P$ seraient nécessairement simples...

Pablo.

#14 19-08-2021 12:14:25

Buu
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Re : Racine d’un polynome

Oui c’est vrai qu’elles peuvent être multiples mais comment peut on trouver la multiplicité de chaque racine ?

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#15 19-08-2021 12:30:47

Paco del Rey
Invité

Re : Racine d’un polynome

Déjà, si $P$ est solution, que peux-tu dire de $P^k$ lorsque $k\in \mathbb N$ ?

Pablo.

#16 19-08-2021 12:44:41

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Hello

Tu as raison , bien vu !,  mea culpa, par-contre on montre facilement que j et son conjugué ont le même ordre de multiplicité avec
la relation initiale.
Donc reprenons ( merci Paco ):
Les solutions P sont tous  les polynômes  [tex]Q^n, n \;\;entier\;\; naturel [/tex] avec [tex]Q = (X-j)(X-j^2)[/tex] ( ce qui inclut le polynôme 1 dans la foulée).
Ils sont encore réels.

Excellente remarque de Paco qui permet de rectifier le tir.


Alain


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#17 19-08-2021 12:51:13

Buu
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Re : Racine d’un polynome

Paco del Rey a écrit :

Déjà, si $P$ est solution, que peux-tu dire de $P^k$ lorsque $k\in \mathbb N$ ?

Pablo.

Si $P$ alors $P^k$ est solution

Ainsi, tous les polynômes sous la forme :

$P = (X^2+X+1)^k$ ou
$P = -(X^2+X+1)^k$

Sont solution

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#18 19-08-2021 12:54:01

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

En utilisant la relation de départ, et les propriétés algébriques de j, ce sont bien les seules possibilités cette fois, car la décomposition en produit de facteurs irréductibles est unique( les facteurs du premier degré relatif à X et à (X-1) se regroupe entre-eux en croisant avec les racines pour s'égaliser avec ceux du second degré de P(X^2), d'où l'égalité des multiplicités .
Merci pour la rectification.

Alain


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#19 19-08-2021 12:59:09

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Par-contre le second de Buu est à proscrire, -1 n'est pas égal à (-1)(-1), tous les polynômes cherchés ont 1 pour coeff dominant...
L'ensemble des solutions est S = { [tex](X^2+X+1)^k[/tex] } pour k entier naturel quelconque.

Bien-sûr comme on a procédé par analyse-synthèse (condition nécessaire pour P solution: appartenir à S ) , il faut bien-sûr vérifier que tout élément de S convient.

Alain

Dernière modification par bridgslam (27-08-2021 07:54:47)


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#20 19-08-2021 13:24:44

Buu
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Re : Racine d’un polynome

bridgslam a écrit :

Par-contre le second de Buu est à proscrire, -1 n'est pas égal à (-1)(-1), tous les polynômes cherchés ont 1 pour coeff dominant...
L'ensemble des solutions est S = { [tex](X^2+X+1)^k[/tex] } pour k entier naturel quelconque.

Alain

J’ai oublié de préciser que pour que le coefficient dominant soit de 1 il fallait que k soit pair

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#21 19-08-2021 13:33:35

Buu
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Re : Racine d’un polynome

bridgslam a écrit :

Cependant montrer que les multiplicités relatives à  [tex]j \;et \;\overline{j}[/tex] sont égales est un peu fastidieux, je regarde s'il n'y a pas "moins lourd" peut-être avec les polynômes dérivés... ou autre idée

Alain

Alors j’ai supposé par l’absurde que mult(j,P)=2>mult(jbarre,P)=1

En dérivant l’expression et en remplaçant X par j on obtient que P’(j)=0
Ce qui est absurde
Ainsi mult(j,P)=mult(jbarre,P)

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#22 19-08-2021 14:10:20

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

pourquoi 2 et 1, pas l'inverse, ou même 15 pour l'un et 11 pour l'autre ? Le degré de P n'est pas limité...

Par ailleurs si selon ton hypothèse j est de multiplicité 2 pour P, on a justement forcément P'(j) nul...

De mon côté je ne trouve pas plus simple que de décomposer en facteurs irréductibles  [tex]X^2 - j[/tex] et [tex]X^2 - j^2[/tex]
dans l'expression de [tex]P(X^2)[/tex]
ce qui est facile ( les deux racines de j sont [tex]j^2 \;et \; -j^2[/tex] ) , la factorisation globale est facile en facteurs irréductibles.
La comparaison à l'autre expression montre que chaque facteur donné irréductible est à la puissance [tex]\alpha[/tex] pour une expression et  justement pile [tex]\beta [/tex] pour l'autre ( ça croise).
La seule possibilité vue l'unicité de décomposition est que les multiplicités [tex]\alpha \; et  \; \beta[/tex] soient identiques.
Et on retombe sur les pieds.

Je ne vois pas avec les dérivées dans le cas général et quelques tentatives.

Alain

Dernière modification par bridgslam (19-08-2021 14:13:59)


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#23 19-08-2021 14:24:27

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Sinon, soit d le coefficient dominant d'une solution P. d est non nul car P non nul.
d est aussi le coeff dominant du polynôme composé [tex]P(X^2)[/tex]  comme tu peux vérifier.
Le coefficient dominant de P(X-1) est aussi d, donc celui de P(X)P(X-1) qui en est le produit vaut d au carré.

Alors d non nul est égal à son carré, la seule possibilité est d = 1.
Il n'y a pas de question de parité de k dans tout ça. Il y a une confusion quelque part.
Tous les polynômes solutions sont normalisés.

Alain


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#24 26-08-2021 11:53:22

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Bonjour,

En utilisant le fait que si P et Q sont des solutions, et que si P = QT alors T est aussi solution ( [tex]\mathbb{C}[X][/tex] étant intègre c'est très facile ...) on en déduit aussi que les multiplicités [tex]\alpha[/tex] de j et [tex]\beta[/tex] de conj(j) sont forcément égales.
En effet en notant [tex]\gamma = inf( \alpha, \beta) [/tex] , en divisant P par [tex] Q = (X^2 + X + 1)^{\gamma}[/tex] on obtient alors
un polynôme T aussi solution mais qui n'a qu'une racine exactement parmi [tex]\{ j , j^2\}[/tex]  ( si [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]
sont inégaux) .
C'est contradictoire avec les propriétés déjà démontrées car les deux sont nécessairement racines.

On peut donc ainsi s'en sortir sans (relativement ) gros calcul.

Alain


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#25 22-09-2021 09:20:22

bridgslam
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Re : Racine d’un polynome

Bonjour,


Je viens de découvrir qu'un exercice voisin ( polynôme P demandé réel ) se rapprochait de celui-ci [ exercice 25.  2)]
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

La question posée ici est donc un peu plus générale ( polynôme complexe ) , et on ne peut donc pas invoquer un argument direct de multiplicités égales pour les racines conjuguées.

La preuve ici montre donc qu'on en a pas plus en cherchant dans [tex]\mathbb{C}[X][/tex] que dans [tex]\mathbb{R}[X][/tex].

Alain


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