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#1 20-09-2021 19:19:33

Waad
Invité

Suites extraites

Bonsoir,
Ci-joint un exercice et sa correction :

1)    Montrer qu’une suite bornée n’ayant qu’une seule valeur d’adhérence converge.

2)    Soit un bornée, telle que lim(un+ u2n /2) = 1. Étudier u .

Solution

1)    Soit (un) bornée n’ayant qu’une seule valeur d’adhérence a. Soit ε > 0 fixé. Considérons Aε = {n |
|un − a| > ε}. Si Aε est fini, il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N , |un − a| ≤ ε, et la formule de
la convergence vers a est vérifiée. Sinon (un)n∈Aε est une suite extraite uϕ(n) de un, qui est une suite bornée. Donc (Bolzano-Weierstrass) on peut en extraire une sous-suite uϕ◦ψ(n) qui converge vers b. Or
|b − a| ≥ ε > 0 par construction, et b est une valeur d’adhérence de (un), il y a une contradiction.

2)    Soit (un) bornée, telle que lim(un+ u2n /2 ) = 1. Si cette suite converge, sa limite vérifiera l + l/2 = 1 donc l = 2/3.
Montrons que cette suite n’a qu’une seule valeur d’adhérence, 2/3.
Par Bolzano-Weierstrass il existe une valeur d’adhérence. Soit (uϕ(n)) une sous-suite qui converge vers une valeur d’adhérence x0. La limite de (u2ϕ(n)) (et par récurrence celle de (u2pϕ(n))) existe, notons là x1 (resp. xp). Ces limites vérifient la relation de récurrence xp+1 = 2(1 - xp). On homogénéise en posant vp = xp - 2/3, et on obtient vp = ( 2)^p * v0 qui n’est borné que si v0 = 0. C’est-à-dire si x0 = 2/3. La suite a donc une seule valeur d’adhérence, on peut conclure par le 1.

Ma question est la suivante :
Dans la correction du 2), pourquoi considérer la suite des limites des différentes suites extraites ? Si on considère que la limite de (uϕ(n)) et (u2ϕ(n)) est la même, cela permet de conclure immédiatement par la relation qui est donnée.

Merci pour votre réponse.

#2 20-09-2021 19:33:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Suites extraites

Bonjour,

  Comment peux-tu savoir que $u_{\phi(n)}$ et $u_{2\phi(n)}$ ont la même limite sans avoir démontré que $(u_n)$ n'admettait qu'une seule valeur d'adhérence. Peut-être penses-tu que $(u_{2\phi(n)})$ est une suite extraite de $(u_{\phi(n)})$, ce qui n'est pas le cas (suppose par exemple que $\phi(n)=2n+1$, dans $(u_{\phi(n)})$, tu n'as que des termes pairs, et dans $(u_{2\phi(n)})$, tu n'as que des termes impairs.

F.

Hors ligne

#3 20-09-2021 20:03:20

Waad
Invité

Re : Suites extraites

Merci beaucoup pour votre réponse !
Comment alors s'assure-t-on de la convergence de (u2φ(n)) ?
Merci.

#4 20-09-2021 20:08:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 041

Re : Suites extraites

Parce que tu sais que $u_{\phi(n)}+u_{2\phi(n)}/2$ tend vers $1$, et que $u_{\phi(n)}$ converge...

Hors ligne

#5 20-09-2021 20:27:02

Waad
Invité

Re : Suites extraites

Merci beaucoup.
Bonne soirée.

#6 21-09-2021 08:24:07

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Suites extraites

Bonjour,

Sinon pour la 1) si on connaît lim sup et lim inf d'une suite on a donc ici [tex]lim \;sup (u_n) = lim \;inf(u_n)[/tex] puisque l' ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un singleton, la conclusion est alors immédiate.
Si tu ne la connais pas, voici des bribes rapides de ces notions ( qu'on peut trouver aussi dans un cadre plus général, ensembliste notamment, utile pour les probabilités ) - ce qui peut être très utile:

- l'ensemble des valeurs d'adhérence est fermé
- lim sup est par définition la plus grande valeur d'adhérence    ( éventuellement inf) de la suite
- lim inf  ................................ petite ...............................( éventuellement  inf ) de la suite
- on a toujours  [tex]lim \;inf \le lim \;sup[/tex]
- elles sont parfois notées ( vieux bouquins ?) [tex]\overline{lim} \;et\;\underline{lim} [/tex]

Le contexte est donc essentiellement la droite achevée.

[tex](u_n)[/tex] converge <=> [tex]lim \;sup(u_n) = lim\;inf(u_n)[/tex] , la limite est alors cette valeur commune ( éventuellement inf)

Le cas borné implique que lim sup et lim inf sont finies.

Je ne sais pas si tu es en 1 ière ou 2 ième année d'études sup, mais (par exemple) Couty -Ezra ( cours d'analyse en deux tomes ) décrit la notion pourtant dans le tome 1, dans un cas particulier (ce qui n'est pas forcément très heureux, la prise en main de la notion est bien plus préhensible dans le cas général ).

Alain

Dernière modification par bridgslam (21-09-2021 09:20:16)


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