Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 17-09-2021 18:16:56

Buu
Membre
Inscription : 18-08-2021
Messages : 17

Racines de l’unité

Bonjour, j’ai un devoir maison et je bloque a une question.
Voici l’énoncé de l’exercice :
Énonce du devoir
Après beaucoup de recherche je n’arrive pas à faire la question 4.a.
Pouvez vous me donner des pistes de recherches sans me donner la réponse ?
Merci d’avance

Dernière modification par Buu (17-09-2021 18:17:49)

Hors ligne

#2 17-09-2021 22:36:19

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

Je pense que |x| signifie l’ordre de x comme élément du groupe, que sais-tu sur lui ?
Assez ambigu comme notation quand on travaille dans C, à cause du module mais bon...
Il y a pas mal d’infos selon les hypothèses qui devraient te mettre sur la voie.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#3 17-09-2021 23:27:05

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

[tex]x\in G_p[/tex], que peux-tu en déduire... or x n’est pas dans [tex]\mathbb{U}_{p^{k_0}}[/tex] donc...
Lorsque l’on a dans un groupe une relation comme [tex]g^r = 1[/tex], que peux-tu en déduire pour [tex]|g|[/tex] ?

Dans la foulée pour le b/   à quel groupe appartient précisément x ? Et quel est l’ordre de ce groupe ?
En comparant à l’ordre de x, tu peux alors répondre à b/

Pour c/ raisonner par l’absurde: que se passe-il si x est dans H ? ( penser à <x> et s’aider de b/  )

Pour conclure : le complémentaire dans [tex]G_p[/tex] de ... est dans le complémentaire de H.
Donc H \ ..... = ....... d’où la conclusion.

L’exercice fournit donc une infinité dénombrable de groupes infinis abéliens dont tous les s-g stricts soient finis
( et cycliques, petite cerise sur le gâteau... ).
Je pense que ce sont les seuls.

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-09-2021 07:50:00)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Hors ligne

#4 19-09-2021 20:36:42

Buu
Membre
Inscription : 18-08-2021
Messages : 17

Re : Racines de l’unité

Bonsoir, merci pour votre aide qui m’a été précieuse je pense avoir tout réussi.
Pour la dernière question j’ai raisonné par contraposée:
On a:
x[tex] \in [/tex]Gp et x[tex] \notin[/tex]Upk0[tex] \Rightarrow[/tex] x [tex] \notin[/tex]H
Par contraposée:
x [tex] \in[/tex]H [tex] \Rightarrow[/tex] x[tex] \notin [/tex]Gp ou x[tex] \in[/tex]Upk0
Or x appartient forcément à Gp car H[tex] \subset[/tex]Gp
Ainsi x [tex] \in[/tex]Upk0[tex]
Donc par double inclusion ( la première inclusion est donnée par la question 3)
H =Upk0

Hors ligne

#5 20-09-2021 17:38:09

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 992

Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

Voir :
https://www.maths-forum.com/superieur/r … 40553.htmlen général assez mal apprécié...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante six plus soixante cinq
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums