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#1 18-09-2021 14:26:58

Collateral_
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Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonjour je poste sur ce forum car je rencontre des difficultés:

La limite en (1,1) de f(x,y) = 1/(x-y) existe-elle?

J’ai donc essayer de trouver des suites qui ont pour limite 1. En injectant dans f j’ai essayer de trouver deux limites differentes mais je n’y suis pas parvenu. Comment devrais-je procéder. Merci

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#2 18-09-2021 15:57:42

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonjour,

Pose [tex]y = x^2[/tex], est-ce que l’expression en obtenue admet une limite?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#3 18-09-2021 16:23:58

Collateral_
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonjour, merci de votre reponse. En remplaçant par x^2 j’arrive à quelque chose:

f(x,x^2) = 1/[x(x-1)] en passant à la limite lorsque x tend vers 1+ on trouve +inf et lorsqu’il tend vers 1- on trouve -inf d’où le fait qu’il y ai pas de limite?

Merci encore Alain

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#4 18-09-2021 16:45:26

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Re bonjour,

Cet artifice montre juste que quand [tex](x,y) \rightarrow (1,1)[/tex] il n’y a pas de limite finie de ta fonction en (1,1).
Comme sa valeur absolue tend vers [tex]+\infty[/tex] ( facile à montrer en prenant par exemple la norme sup sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex], c’est immédiat ), si limite il y a elle ne peut être qu’infinie.
Hélas au voisinage de (1,1) pour y> x l’expression est str. négative, et vice versa.
Donc ni limite finie ni infinie, sauf erreur...
Ta remarque tient aussi la route , ça marche aussi.

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-09-2021 16:53:01)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 18-09-2021 16:54:26

Collateral_
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Merci de votre réponse, quelque chose m’échappe, lorsque vous dites : « comme sa valeur absolue tend vers +inf » de fait que |1/(x-y)| = +inf quand (x,y) tend vers (1,1), cela signifie que la limite est forcément infinie ? Merci encore

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#6 18-09-2021 17:17:32

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Au voisinage du point considéré, si on se restreint au-dessus de la diagonale principale, l’expression tend vers +inf.
Donc si la limite sans cette restriction existe, elle est forcément infinie.
Un peu comme pour les suites, si une suite extraite converge vers machin, alors si la suite totale converge, c’est celle (machin) de la suite extraite.

Je n’ai pas lancé de graphique en 3d, mais j’imagine qu’on obtiendrait deux surfaces séparées par la diagonale, l’une  tournée vers -inf en-dessus, et vice versa, en gros le plan vertical y=x passant par la diagonale est asymptote aux deux nappes. Vue par une coupe orthogonale, on doit voir une hyperbole y=1/x .
A cause de l’inclinaison de la diagonale, il ne doit pas y avoir une symétrie orthogonale par rapport à la diagonale entre les deux surfaces... je pense.
Tout ça en mettent l’axe Oz vertical par habitude.

Rien vérifié...
Bon we

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-09-2021 17:27:24)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 18-09-2021 17:26:40

Collateral_
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

D’accord merci, c’est bien ça pour la modélisation 3D , on retrouve bien ces deux nappes. Je penses que ce qui me perturbe dans les exos, c’est le fait qu’on nous demande d’étudier l’existence éventuelle d’une limite dans un point ou la fonction n’est pas définie. Le problème c’est que si je reviens dans les définition de cours pour montrer que la fonction tend vers L en a je dois montrer que le quantité |f(x,y) - L|<e .Dans le cas où on montre que la fonction n’a pas de limite c’est pas grave car il y a pas besoin de revenir à cette définition, seulement de trouver deux limites différentes par deux chemins diffèrent mais dans le cas contraire dois-je présupposer une valeur pour L? En tout cas merci beaucoup de votre temps que vous prenez sur votre week end pour répondre à mes question (pertinentes ? Je sais pas) merci encore et bon week end Alain

Dernière modification par Collateral_ (18-09-2021 17:27:48)

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#8 18-09-2021 17:38:04

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Oui, mais la notion de limite c’est vraiment quand la variable est ”à côté” du point...
Normal, c’est défini par des images de parties pointées, on se moque totalement d’une valeur ponctuelle.
C’est pour ça que la définition générale passe par les filtres ( Cartan). On évite justement le "trou de serrure".

Alain


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#9 19-09-2021 17:37:40

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonsoir,

Une question annexe amusante: comment définir la fonction g(x,y) pour que le plan y=0 soit le plan asymptote ( en somme pivoter de [tex]-\pi/4[/tex] la figure précédente ).
Je dirai g:(x,y ) -> 1/y ,  définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] x [tex]\mathbb{R}^*[/tex].

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#10 19-09-2021 21:35:33

Collateral_
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonsoir, contrairement à votre avant dernier message, message qui par ailleurs laisse entrevoir la profondeur d’un savoir que je n’ai pas, j’ai compris votre dernier message et en effet en entrant la fonction sur wolframalpha on voit bien que le plan yOz est le plan asymptomatique à l’ensemble (x,y,g(x,y)), chapeau je n’aurai jamais pu le deviner.
Cependant seriez vous en mesure de reformuler votre dernier message visant à m’expliquer les difficultés que j’éprouve lorsqu’il s’agit de discuter sur l’éventuelle limite d’une fonction. Désolé, je sent bien que votre message a déjà répondu mais je ne l’ai pas compris, je ne connaissais même pas la famille Cartan

Merci encore Alain de prendre de votre temps pour répondre.

Dernière modification par Collateral_ (19-09-2021 21:54:36)

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#11 19-09-2021 21:53:31

Collateral_
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Par exemple si je dis cette fonction de RxR —>R:

        f(x,y) = [exp(1/x-y)]/[ ln(2-x-y)*(1-x)(1-y)]

Est-ce que la limite de f en (1,1) existe ? Si oui l’expliciter.

Bon j’ai essayé de faire compliqué mais s’il le faut c’est très simple et je le vois même pas.

Mais si je devais procéder, du fait que f est une fonction de R2 dans R j’essaierais de majorer la quantité |f(1+rcos£,1+rsin£)-limite| par une fonction sur R+ qui tend vers 0 mais que dois-je faire avec l ? Si je dois montrer qu’elle existe je ne peux pas présupposer de valeur. Dans le cas ou c’est zéro ça va
Sinon je dois montrer que pour toute suite de R2 qui tend vers (1,1) f(un) tend vers L et c’est la loterie soit on trouve vite deux suites qui marchent avec une limite différente et on prouve qu’il y en a pas mais dans le cas ou il y’a en a une c’est difficile d’expliciter toutes les suites de R2

Dernière modification par Collateral_ (19-09-2021 22:05:27)

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#12 20-09-2021 05:28:11

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonjour,

Plan xOz plutôt, asymptote.... ?

Sinon pour les limites en point donné d’un ensemble E  on s’intéresse à une famille de parties collées à ce point, et leurs images ( autres parties ). Pour que ces notions aient un sens compatible avec le sens intuitif, la famille en question est une base de filtre, aux propriétés précises.
A travers une base de filtre, on laisse passer ce qui importe ( d’oû le nom ), et justement normalement pas le point considéré.
On peut aussi définir une limite de la base de filtre, avant même de parler de fonction ( de E vers un espace topologique F, les voisinages jouent à l’arrivée de la fonction ).
Par exemple on peut formuler la limite d’une suite en terme de base de filtre sur [tex]\mathbb{N}[/tex], cet ensemble
n’est pas (ici en tous cas, on peut en définir pour des contextes arithmétiques, par exemple la topologie de Fürstenberg, passons ) du tout muni de la notion de voisinages.

A retenir surtout c’est qu’on regarde ce que vaut f, pas au point lui-même, dont on a cure.
L’ amalgame vient du fait que depuis la maternelle beaucoup de fonctions sont continues, les maths aiment la simplicité,  plutôt débat philosophique...

Alain


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#13 20-09-2021 12:52:42

bridgslam
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Re : Limite d’une fonction de plusieurs variable en un point (pas origine)

Bonjour,

Collateral_ a écrit :

Par exemple si je dis cette fonction de RxR —>R:

        f(x,y) = [exp(1/x-y)]/[ ln(2-x-y)*(1-x)(1-y)]

Est-ce que la limite de f en (1,1) existe ? Si oui l’expliciter.

Attention ce n'est une application que sur le demi-plan inférieur d'équation  x+y < 2 privé des droites x=1 et y=1 et x+y différent de 1
(sinon le dénominateur s'annule...) La vue en 3D semble plus délicate...

Alain

Dernière modification par bridgslam (20-09-2021 13:56:12)


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