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#1 18-09-2021 17:42:11

Xxx777xxX
Invité

Exercice, récurrence

Bonsoir,
Je bloque complètement sur un exercice de récurrence, je ne vois absolument pas comment je dois me lancer...

Exercice:

On veut déterminer toutes les fonctions ƒ définies sur ℕ à valeurs dans ℕ telles que :
                                     ∀n ∈ ℕ,  ƒ(ƒ(n)) < ƒ(n+1).

1. Montrer par récurrence que pour tout p entier naturel : ∀n ≥ p, ƒ(n)≥p.
2. En déduire que ƒ est strictement croissante puis déterminer ƒ.

Merci d'avance !

#2 18-09-2021 18:39:53

Paco del Rey
Invité

Re : Exercice, récurrence

Bonjour.

Tu peux t'intéresser à un $n\in\mathbb N$ tel que $f(n)$ soit minimum. La question 2. te donne un indice.

Paco.

#3 18-09-2021 19:00:24

Xxx777xxX
Membre
Inscription : 18-09-2021
Messages : 1

Re : Exercice, récurrence

Bonsoir,
Suite à votre proposition, comment je peux savoir que ƒ(n) ≥ n ?

Hors ligne

#4 18-09-2021 21:26:50

Paco del Rey
Invité

Re : Exercice, récurrence

Je répète :
D'après la question 2. le minimum de la fonction $f$ serait $f(0)$.
Peux-tu le démontrer ?

Paco.

#5 19-09-2021 06:59:48

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Exercice, récurrence

Bonjour,

On vérifie que la propriété est vraie si p est nul.

Supposons qu’ elle soit vraie pour un entier p ( hypothèse de récurrence HR), il faut montrer .....

Si [tex]n\ge p+1[/tex] que peux-tu dire de [tex]n-1[/tex] ?
En utilisant HR, et que si un entier k vérifie [tex]k > s[/tex] alors [tex]k \ge s+1[/tex], tu obtiens que...

Alors tu peux conclure la première question.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#6 19-09-2021 07:14:35

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Exercice, récurrence

Re-bonjour,

Pour la 2, on a [tex]f(n+1)\gt f(f(n))[/tex] donc, d’après 1. ,  on en déduit...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 19-09-2021 07:30:58

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 469

Re : Exercice, récurrence

Pour résumer ( petite synthèse ) :

  - f est croissante ( et même strictement )
  - pour tout n f(n) vaut au moins n d’après 1.

  Par l’absurde, en supposant ,  [tex]\exists n f(n) \ge n+1 [/tex] que se passe-t-il en utilisant la croissance de f ?

Je te laisse logiquement conclure.

Alain


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