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gigot

Invité

Plongement isométrique.

Bonsoir à tous,
Comment est ce qu'on peut injecter isométriquement $ \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu ) $ dans $ L^2 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda )  $ ? Et comment le montrer ?
Merci d'avance.

[Edit Fred : pas besoin de mettre des dollars si tu as mis les balises [ tex ], et réciproquement].

Fred

Administrateur

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Messages : 7 047

Re : Plongement isométrique.

Bonsoir,

  Tout simplement, en envoyant la suite $(u_n)$ sur la fonction $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n {\mathbf 1}_{[n,n+1]}$....

F.

gigot

Invité

Re : Plongement isométrique.

Bonsoir Fred,
Merci pour la réponse.
J'ai réfléchi à ce problème tout à l'heure, et en regardant la page [tex]90[/tex] du pdf suivant, https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.ma … y/lths.pdf , je me dit que peut être, pour montrer que, [tex]\ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu )[/tex] s'injecte isométriquement dans [tex] L^2 ( \mathbb{R} , \mathcal{B} (\mathbb{R}) , \lambda )[/tex] , il suffit de montrer que le morphisme suivant, [tex]\psi \ : \ L^2 ( [0,2 \pi ] ) \to \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu )[/tex] défini par,[tex] \psi (f) = ( \langle f , e_n \rangle )_{ n \geq 0 } \in \ell^2 ( \mathbb{N} , \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) , \mu )[/tex], pour tout [tex]f \in L^2 ( [0, \pi ] )[/tex], où, [tex]e_n (t) = e^{int}[/tex] , pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], pour tout [tex]t \in [0,2 \pi ][/tex] ( [tex]\mathcal{B} = \{ \ e_n \ \}_{ n \geq 0 }[/tex], est la base hilbertienne canonique de [tex]L^2 ( [0,2 \pi ] )[/tex] ) est une bijection isométrique, et que, [tex]L^2 ( [0, 2 \pi ] )[/tex] s'injecte isométriquement dans [tex]L^2 ( \mathbb{R} )[/tex]. D'où, [tex]\ell^2 ( \mathbb{N} )[/tex] s'injecte isométriquement dans [tex]L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] . Est ce que c'est ça ?
Maintenant, pourquoi [tex]L^2 ( [0,2 \pi ] ) = L^2 ( \mathbb{T} )[/tex] s'injecte isométriquement dans [tex]L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] ?
Merci d'avance.

gigot

Invité

Re : Plongement isométrique.

[tex]L^2 ( [0,2 \pi ] ) = L^2 ( \mathbb{T} )[/tex] s'injecte isométriquement dans [tex]L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] en définissant le morphisme, [tex]\varphi \ : \ L^2 ( [0,2 \pi ] )  \to L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] comme suit,
[tex] \varphi (f) = f[/tex] , pour tout [tex]f \in L^2 ( [0,2 \pi ] )[/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d’avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Plongement isométrique.

Bonjour,

  Oui, ta méthode fonctionne aussi, même si je ne comprends pas vraiment comment tu définis $\varphi(f)$ (a priori, $f$ est définie sur $[0,2\pi]$, et tu dois l'étendre sur $\mathbb R$). Cela dit, elle est beaucoup plus sophistiquée que ce que je propose, et ne fonctionne que dans le cas $L^2$ et $\ell^2$. Le plongement isométrique très simple que je propose fonctionne pour toutes les valeurs de $p$.

F.