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#1 06-06-2021 22:29:35

Mathyeux
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Proba et denombrement

Bonsoir!

Il s'agit d'un exercice du site:

Pour organiser une coupe, on organise un tirage au sort qui réunit n équipes de basket-ball de 1ère division et n équipes de 2ième division, de sorte que chaque équipe joue un match, et un seul.
Calculer la probabilité qn que tous les matchs opposent deux équipes de la même division.

et la correction indique: D'abord, si n est impair, un tel tirage au sort est clairement impossible, et qn=0. On suppose donc que n est pair et s'écrit 2k. On choisit d'abord les k matchs parmi 2k qui opposent les matchs de 1ère division entre eux : cela fait $\binom{2n}2$ choix. Une fois ce choix réalisé, il faut compter le nombre de tirages à l'intérieur entre équipes de 1ère division. De la même façon que lorsqu'on a compté le nombre total de tirages au sort, on trouve $\binom{2n-2}2$. De même pour les tirages au sort entre équipes de 2è division. On a donc : $q_{2k}=\frac{2^{2k}}{(4k)!}\times \binom{2k}k\times\left(\frac{(2k)!}{2^k}\right)^2=\frac{\binom{2k}k}{\binom{4k}{2k}}.$

Je comprends le raisonnement mis en place pour le denombrement (c'est d'ailleurs ce que j'avais commencé à faire de mon coté), je dois bien avouer que je ne comprends pas la réponse! Si quelqu'un pouvait m'expliquer...


Merci d'avance
Mathieu

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#2 07-06-2021 07:55:31

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Bonjour,

Pour simplifier le calcul des probabilités tu peux supposer que les matchs ont un numéro (chronologie par exemple) , donc que leur ordre a de l'importance.
Ainsi le nombre de possibilités total de former des matchs en les ordonnant est [tex]\binom{2n}{2}\binom{2n-2}{2}......\binom{2}{2}[/tex]
Avec[tex] k = n/2 [/tex] on a donc les faits suivants:

Parmi ces possibilités, si on considère les n matchs compatibles avec leur division,  comme on a décidé que l'ordre a une importance vont s'insérer parmi n matches ceux de  division 1 et ceux de division 2, il y a donc [tex]\binom{n}{k}[/tex] possibilités , qui revient à choisir
quelle est la survenue chronologique de k matches parmi  n.
Cela est à multiplier par les possibilités de matches intra-division,  pour chaque division, donc [tex](\binom{n}{2}\binom{n-2}{2}....)^2[/tex] en considérant que l'ordre des matches  a aussi une importance.

Au final la probabilité de tirer au sort des rencontres compatibles avec la division vaut:
[tex]\binom{n}{k}\times (\binom{n}{2}\binom{n-2}{2}....)^2  / \binom{2n}{2}\binom{2n-2}{2}......\binom{2}{2}[/tex]

C'est le nombre de cas d'avoir n rencontres ( la moitié de division 1, la moitié de division 2) dans un ordre donné, rapporté aux nombre de cas de rencontres possibles sans restriction de division dans un ordre donné aussi.

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-06-2021 11:41:58)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#3 07-06-2021 08:04:36

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Je n'ai pas fait le calcul algébrique ( factorielles...) , mais on doit retomber sur ta formule je pense...
Une bonne partie des factorielles se simplifiant, cela semble ( je dis ça sans avoir fait le calcul précis) , à la louche, donner ta formule.

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-06-2021 08:56:22)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#4 07-06-2021 08:47:35

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

ou pour mieux visualiser en prenant un exemple: 16 équipes , 8 par divisions, 8 matches. Je note les divisions A et B.

je dénombre les possibilités (du style AAAABBBB, ...  , ABBAABAB, .... BBBBAAAA ) soit toutes les façons de placer les divisions dans un ordre donné, quand seuls sont joués des matches compatibles avec la division.
Pour chacune , on dénombre pour A, et pour B,  les matches possibles intra-division ,  ordre compris.
Il faut donc faire le produit.

On divise ensuite par toutes les possibilités, par exemple en notant M les matchs mixtes, on aura des possibilités en plus du style:
MMMMMMMM, .... AMMAMBBM , .....  leur nombre ( avec l'ordre qui joue ) étant donné dans mon post précédent.

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-06-2021 14:09:04)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 07-06-2021 10:39:11

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Re-bjr,

Petite propriété arithmétique facile: le nombre de matches mixtes est toujours  pair, et il y a toujours autant de matchs internes à une division qu'à l'autre division.
Pas trop dur là...

Alain


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#6 07-06-2021 14:02:11

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Nota bene: les simplifications successives donnent  bien ta valeur [tex]\binom{n}{n/2} / \binom{2n}{n}[/tex].
En pratique je n'ai pas fait d'essais numériques, mais si on ne veut pas jouer à la roulette, je pense qu'il est souhaitable que les divisions
décident de leurs matchs avant de se rencontrer, pour avoir une probabilité de ...1. :-)
Et puis si,  allons-y: avec 2 divisions de 8 équipes chacune, soit 16 équipes pour 8 matchs  la probabilité en tirant un tournoi au hasard que chaque équipe rencontre une équipe de sa catégorie vaut environ 5/1000... sauf erreur.

Plutôt faiblard donc.
Sans doute n'y a-t-il que les amateurs de probabilités pour tenter des choses pareilles....

Bonne soirée
Alain


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#7 07-06-2021 20:04:51

Mathyeux
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Re : Proba et denombrement

Wow que dire à part... merci! Je ne m'attendais pas à avoir une réponse aussi développée sur un coté des mathématiques autant "délaissé" si je peux dire ainsi. Juste une petite précision: pourquoi faire l'hypothèse :"L'ordre des matchs est important"? Parce que l'énoncé ne l'indiquait pas, mais cela change la réponse si on dénombre sans cette hypothese ( il n'y a pas le coefficient $\binom{n}{k}$ )

Bonne soirée
Mathieu

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#8 08-06-2021 06:21:03

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Bonjour,

On fait cette hypothèse pour simplifier les dénombrements, au numérateur et au dénominateur du calcul final.
Si on ne la fait, on compte plusieurs fois la même chose ( les apparitions des matches dans un ordre différent) et on doit diviser par une factorielle pour éliminer ces redondances.
C'est le même problème que de dénombrer le nombre de partitions  en classes de deux éléments sur un ensemble de cardinal pair 2n.
De mémoire c'est l'histoire des mots de Gauss.
Si les classes sont ordonnées ( numérotées) , c'est simple par choix successifs des classes sélectionnées, , sinon il faut diviser par n! pour éliminer les mêmes partitions, juste permutées et comptées n! fois.

Pour le calcul final en probabilité, ça revient strictement au même, mais en simplifiant les calculs intermédiaires.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#9 08-06-2021 06:31:08

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Par exemple ce genre de dénombrement sur {a,b,c,d ,e , f} :

Tu auras à moment donné la partition { {a,b } en premier choix, puis {c,d}, puis {e,f} }
Mais en suivant la même démarche tu vas en obtenir 5 autres , à l'ordre près des classes. En tout 3! extractions alors
que ça compte pour 1 partition...
Idem pour toutes les autres.

Alain


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#10 08-06-2021 06:48:17

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Avec le même exemple "tirer la partition { {a,b} ,{c,d},{e,f} } " dans  l'univers des partitions a la même probabilité que 
la probabilité de  "tirer l'un des 3!    3-uplets (  {a,b} ,{c,d},{e,f} ),   ( {c,d} , {a,b} , {e,f} )...  etc... dans l'univers de tous les 3-uplets { ( {x,y}, {z,t} , {u,v} )  } . Dans cette façon de faire on tient compte de l'ordre.

Cela revient au même pour le résultat final, mais la deuxième manière permet des dénombrements plus directs.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#11 08-06-2021 07:23:54

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Sinon, "délaissé" je ne sais pas trop, sauf quand on est probabiliste évidemment,  ou dans une équipe en rapport avec les probas ou les stats.
Mais il y a des sujets passionnants autour, avec des applications pratiques fréquentes, et parfois surprenantes.

Moi j'avais creusé autour de quelques bons bouquins: Métivier, Fuchs-Foata.
Il y a aussi un fascicule de la série Schaum sur les probabilités.

Dans les deux premiers ouvrages on peut dans un premier temps laisser de côté ce qui a trait à la mesure et Lebesgue, tout du moins si on ne fait que des probabilités discrètes. Après c'est un passage obligé.
Quelques exercices d'anthologie sont à faire pour une formation solide: aiguille de Buffon,  boite d'allumettes de Banach, scrutins, dénombrements de chemins, le moindre choix au bridge, applications aux jeux ...
Le principe de réflexion est très utile, et mentionné dans les bons ouvrages.
En général on se sort de pas mal de situations en demeurant clair et rigoureux à la base: l'univers etc, quand c'est exprimable.

Les probabilités s'invitent  aussi beaucoup en théorie des nombres.

Alain


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#12 09-06-2021 20:01:51

Mathyeux
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Re : Proba et denombrement

Merci pour toutes ces réponses, c'est plus clair maintenant !
Sinon quand je disais délaissé, c'est que je me suis aperçu que de manière générale, les profs n'aimaient pas trop les probabilités ( je citerai en exemple mon prof de maths en début d'année : " le programme de maths s'étend jusqu'en mai, après nous ferons des probas")

Bonne soirée
Mathieu

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#13 16-09-2021 13:34:12

bridgslam
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Re : Proba et denombrement

Re-bonjour,

C'est dommage, si c'est vu comme cela, effectivement, une sorte de vilain petit canard des maths mis au rebut...

Certaines questions sont bien subtiles et sont à savourer à leur juste mesure ( sans jeu de mot :-)  ).
Moi je me souviens d'un problème de bac ( année 76 ou 77 ?) que j'avais bien apprécié: un jeu oppose deux joueurs ( Pierre et Paul) possédant chacun des jetons.
Paul en a deux fois plus que Pierre, disons 2n et n,  ils jouent, tant qu'ils ont tous deux des jetons, des parties où celui qui perd donne 1 jeton à l'autre. Celui qui perd est le premier à n'avoir plus de jeton... ( ou le dernier à faire le fond de sa poche, pareil)
Mais Pierre a un peu plus de chance de gagner que Paul à chaque partie ( disons par exemple p = 0.6 contre 0.4) pour compenser son handicap.
Il faut déterminer qu' à partir d'un certain n fonction de p, le jeu reste favorable à Pierre.
De mémoire le pb nécessitait une étude de suite, les logarithmes  et évidemment des probas, de l'analyse réelle ...
Bien complet et super intéressant.

Alain


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