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#1 12-09-2021 10:21:12

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 77

Plusieurs questions Suites

Bonjour, j'ai qques questions pouvez vous m'aider sil vous plait:

1) Une suite definie par recurrence est une suite definie à partir du 1er terme et de la relation u(n+1)=f(u(n)). Du coup est ce que la suite definie par : u(0)=-2 et u(n+1)=2n-u(n) est une suite definie par recurrence ?
Je dirais non car u(n+1) depend de u(n) mais aussi de n ...?! quen pensez vous ?

2) Je ne sais pas comment calculer : 4+7+10+...+91 en utilisant la formule (1er terme +dernier)*nombre de termes/2
je vois seulement que c'est une somme dune suite arith. de 1er terme 4 et de raison 3

3) Pour calculer : S=2-6+18-54+...+118098 j'ai réecris comme cela S=2*(-3)^0+2*(-3)^1+2*(-3)^2+....+2*59049
et là je sais pas comment trouvé facilement à quelle puissance de (-3) 59049 correspond ...
J'ai fait plein d'essaie sur la calculatrice en calculant plusieurs puissances de (-3) mais c'est long, est ce quil ya pas un autre moyen ?

Merci beaucoup !!

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#2 12-09-2021 12:27:51

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Plusieurs questions Suites

Re,

Q3.
Tu procèdes par dichotomie et avec 3 pour la recherche de ton exposant, le signe ne gêne pas
Tu sais déjà que :
$3^4=81 $ (pas besoin de calculatrice : $81 = 9 \times 9=3^2 \times 3^2 =3^4$
Ensuite tu prends ta calculatrice  et tu testes :
$(3^4)^2=3^8 = 6561$
C'est plus.
Je ne teste pas $(3^8)^2$, c'est beaucoup trop : $6561\approx 6000$ et $6000^2=(6 \times 10^3)^2= 36 \times 10^6...$
c'est beaucoup trop.
Je me contente de :
$(3^4)^3=3^{12} =531 441$
C'est moins...
Donc ton exposant est compris entre 8 et 12
On tape sur (8+12)/2=10, soit $3^{10}$
Là tu as potentiellement 3 cas
Soit 10, c'est bon
Soit $3^{10}$ c'est trop grand alors l'exposant cherché est 9
Soit $3^{10}$ c'est trop petit alors l'exposant cherché est 11.
Dans les 3 cas tu as ta réponse... 

Q2
1er terme 4
dernier terme 91
nb de termes 30 (91 = 4+3n ; n=(91-4)/3=29, et 29+1 =30)
Pourquoi +1 ?
Parce que le quotient de la division par 3 ne donne pas le nombre de termes, mais le nombre de fois que tu as ajouté 3. Il y a donc un terme de plus que la valeur du quotient.
Somme : $\dfrac{4+91}{2}\times 30=95\times 15=1425$

Q1 A priori, je suis d'accord.

@+

Dernière modification par yoshi (12-09-2021 15:47:32)


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#3 13-09-2021 06:03:59

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 321

Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour à tous !

La formule de récurrence donne deux informations : Le premier terme de la suite. La règle qui permet de déduire un terme de la suite du terme précédent.

Voilà ce que donne ma recherche sur la récurrence ...

Donc, je dirais, à priori OUI à Q1.

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-09-2021 06:04:44)

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#4 13-09-2021 08:50:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Plusieurs questions Suites

Ave Bernard,

J'avais cherché moi aussi la définition et j'avais trouvé la même chose que toi.
J'ai cherché des exemple d'exos donnés et aucun ne présentait cette formulation.
La définition n'exclut pas la formulation et je trouve qu'elle devrait préciser la chose.
J'avoue avoir été partagé, pourtant, à tort ou à raison, j'ai suivi la conclusion de Mouss.
Nouvelle recherche ce matin :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_d%C … A9currence
Et les exemples donnés "évitent soigneusement" ce cas...

https://math.univ-angers.fr/~labatte/IN … SUITES.pdf
Rebelote...
Même si l'exemple donné est plus précis mais ne contient pas la variable n.

Je vais donc poser la question à Fred.

@+


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#5 13-09-2021 09:08:10

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour,

Ta première question est très intéressante:

Tu aurais raison dans l'absolu si on considérait f comme indépendant de n, ce qui n'est pas dit non plus dans la définition. En toute rigueur il faudrait plutôt dans la définition noter f avec un indice, disons [tex]f_n[/tex], même si parfois ( mais pas dans ton exemple) passer au rang suivant ne dépend pas du rang explicitement.

Dans le cas que tu évoques, u vérifie simplement une équation fonctionnelle sur les entiers x:
[tex]u(x+1) = 2x - u(x) = (2id - u) (x) \;\forall x[/tex] donne la relation entre fonctions  [tex]u \;o\; t_1 = 2id - u [/tex] avec [tex]t_1[/tex] la fonction translation de 1.

Si on pose f( u ) = -u + 2id, qui va s'amuser à écrire comme définition [tex]u_{n+ 1}  = (-u + 2id)_n = f(u)_n[/tex]  ? ce qui d'ailleurs n'est pas du tout [tex]f( u_n )[/tex]... f s'applique sur une fonction, pas sur un réel.

Par-contre si on pose [tex]f_x (y) = -y + 2x[/tex] là OK  [tex]u \;o\; t_1 (x) = f_x( u(x) ) [/tex] tout devient plus naturel...

Donc pour résumer: dans la définition de récurrence, ne pas oublier que f peut être "paramétrée" par le rang n.

Alain

Dernière modification par bridgslam (13-09-2021 09:08:41)


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#6 13-09-2021 11:22:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 022

Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour,

  Concernant la question Q1 de Mouss, tout dépend effectivement de ce que l'on donne comme définition de suite récurrente.

a) si on définit une suite récurrente par la donnée d'un premier terme $u_0$ et par la donnée d'une fonction $f$, en définissant $(u_n)$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq 0$ alors la réponse est (bien sûr) NON. Je crois que c'est la réponse attendue dans cet exercice, vue la définition rappelée par Mouss.

b) si on définit une suite récurrente par la donnée d'un premier terme $u_0$ et par un procédé qui, connaissant $u_0,...,u_n$ permet de calculer $u_{n+1}$, alors la réponse est OUI. On peut d'ailleurs envisager des exemples plus compliqués que ceux cités jusqu'à présent, par exemple la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_0+u_1+\cdots+u_n+n$ pour tout $n\geq 0$, où la relation dépend de $n$ et de tous les termes précédents.

  Quelle est la définition d'une suite récurrente? Sans doute que philosophiquement, la bonne définition est b). Mais en pratique, dans les cours, on donne plutôt a) : c'est dans ce cas restreint qu'on a le plus de résultats généraux de monotonie, de convergence, etc....

F.

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#7 14-09-2021 08:46:09

bridgslam
Membre
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Messages : 415

Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour,

Dans le post initial de Mouss, il n'est rien dit sur f, pas même qu'il s'agit d' UNE fonction.
apparemment dans les infos glanées sur la toile, majoritairement, on se donne d'abord une fonction, puis on définit la suite grâce à f et l'initialisation.
Ce contexte est bien spécifique, notamment la fonction utilisée est alors la même pour tous les rangs n, sans parler des valeurs précédentes.
Dans le cas général, le processus utilisé pour passer au terme suivant de la suite, vue comme une règle de calcul,  dépend a priori du rang et de données connues à ce  rang ( si n est l'âge du capitaine je fais ceci, si c'est l'âge de sa grand-mère je fais autre chose, etc).
Il peut être vu en ce sens comme un algorithme plus ou moins élaboré.

Tout dépend bien des définitions accordées  à "suite récurrente".
Je crois qu' en terminale scientifique on ne se casse pas trop la tête: [tex]f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] est donnée au préalable, puis on pose la définition de la suite.
A un niveau à peine au-dessus, on pourrait déjà plutôt considérer pour f une fonction de plusieurs variables ( pour pouvoir jouer sur les valeurs de rangs antérieurs dans la suite ). Par exemple la fonction s(x,y) = x +y produit la suite bien connue (0,1,1, 2,...) en se donnant les deux premiers termes et l' application réitérée de s à partir des deux précédents termes.

On doit pouvoir accéder à beaucoup  de suites possibles, sans algorithmes (tests, boucles...), en considérant une suite de fonctions de plusieurs variables
(pas forcément toutes avec le même nombre de variables...). On applique au rang n la fonction de rang n.
L'idée de règle, processus, est sans doute beaucoup plus puissant car elle sous-entend au final un algorithme.
De mon côté je préfère voir une suite récurrente comme produite par l'application répétitive d'une (seule et même) règle, plutôt que d'invoquer une notion de fonction préalablement fixée.

Alain

Dernière modification par bridgslam (14-09-2021 08:47:55)


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#8 14-09-2021 16:06:44

Black Jack
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Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour,

Q3

Il y a une "formule" qui permet de calculer la somme de termes en progression géométrique, en connaissant la raison, le 1er et le dernier terme. (sans donc connaître ou calculer le nombre de termes)

S = (d*q-p)/(q-1)
avec d le dernier terme, p le premier terme et q la raison

Ici, q = -3 , p = 2 et d = 118098

On a donc directement : S = (118098*(-3) - 2)/((-3)-1) = 88574

Méthode à utiliser si la formule que j'ai donné a été enseignée.

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#9 14-09-2021 16:49:13

yoshi
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Messages : 15 945

Re : Plusieurs questions Suites

Re,

Nan, jamais vue...

@+


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#10 14-09-2021 17:46:52

Black Jack
Membre
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Messages : 273

Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour,

Moi, on me l'a enseignée ... mais c'était il y a environ 55 ans, du temps où en Secondaire "Math forte" on avait hebdomadairement 8 heures (de 60 minutes) de math (ce n'était pas en France).

Aujourd'hui, avec souvent, au mieux, 5 périodes de 55 minutes hebdomadaires, cela fait  43 % du temps d'enseignement de maths en moins ... avec les pans entiers de matière qui sont passées à la trappe et les conséquences qui accompagnent.

:-)

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#11 14-09-2021 18:29:38

yoshi
Modo Ferox
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Re : Plusieurs questions Suites

Ave,

En 1ere j'avais 5 h, et le jour où on avait Math de 9h à 11 h, à 10 h le prof prenait un malin plaisir, semaine après semaine, de sortir, faire trois tours du pilier de soutien de la marquise (m minuscule !) et re-rentrer en disant : Ah, on a pris une bonne recréation, refermait la porte et on repartait pour 1 h. Personne ne mouftait...
Impensable maintenant !
Aujourd'hui, côté élèves on fait des pétitions...

En Math-Elem, on avait 9 h par semaine et 5 h 30 de Phys-Chimie.
Les autres matières se partageaient ce qui restait...
Je crois que j'avais 5 bouquins : de MM Lespinard & Pernet, livres d'une belle couleur... verte !

Et quand je vois ce que sont les programmes devenus  (j'ai encore mes Lebossé & Emery 6,5,4,3,2), je me dis que le temps (le temps vraiment ?) aux plus belles choses se plaît à faire un affront....
(Et là, Corneille, puis Brassens s'adressaient à une... Marquise).

Si je connais le nombre de termes, le 1er, la raison, le dernier, je peux exprimer ce dernier terme en fonction du premier et le substituer dans ta formule pour retomber sur celle enseignée.
Dans l'autre sens, ce doit donc être possible aussi (pas testé).

@+


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#12 14-09-2021 19:19:03

Fred
Administrateur
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Re : Plusieurs questions Suites

Hello,

   Moi, ça remonte à moins longtemps que vous (mais ça commence à faire un bail tout de même). Et je me souviens qu'en 1è, on m'avait appris la formule suivante pour la somme des termes d'une suite géométrique :

S= (premier terme - terme qui suit le dernier) / (1 - raison)

Je l'ai retenu comme cela (sans lettres, vraiment comme une phrase). C'est comme cela que je l'enseigne maintenant (en M1....!). Et je crois que c'est exactement la formule de Black Jack.

F.

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#13 15-09-2021 06:55:33

bridgslam
Membre
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Messages : 415

Re : Plusieurs questions Suites

Bonjour,


yoshi a écrit :

je me dis que le temps (le temps vraiment ?) aux plus belles choses se plaît à faire un affront....

@+

Pas faux non plus avec le réchauffement climatique :-)...

Alain


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