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#1 07-09-2021 07:57:06

poipoi34
Invité

Base de topologie

https://ibb.co/0jM4NMc
J'essaie de faire l'exercice 1.5 dans l'image du lien ci dessus et je pense qu'il y a une erreur. Avec la definition qu'ils donnent de la topologie, les singletons sont ouverts non? Puisque en posant a=0 on a que [tex] \{b\} [/tex] est ouvert, donc c'est la topologie discrète?

#2 07-09-2021 08:36:07

bridgslam
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Re : Base de topologie

Bonjour,

Je pense que dans la définition a doit être dans [tex]\mathbb{Z}^*[/tex]... sans doute une coquille d'énoncé, comme souvent, sinon sans être faux, ce n'est pas un cas très intéressant: la famille étudiée est alors une base de la topologie discrète, qui est sa topologie engendrée,
vue que la famille  contient déjà tous les singletons.
Sinon,  il faut montrer ( cas où a est non nul, cas intéressant  ), CNS pour qu'il existe une topologie dont B soit une base:

- Que [tex]\mathbb{Z}[/tex] est réunion de tous les [tex]E_{a,b}[/tex] ce qui est clair car déjà [tex]\mathbb{Z} = E_{1,0}[/tex]
- Que l'intersection de deux éléments de cette famille est aussi réunion d'éléments de cette famille.

Tu dois t'en sortir avec l'arithmétique dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] ( style théorème chinois ou variante).
On peut aussi voir si x appartient à deux suites arithmétiques de raisons a et a', il appartient à la suite arithmétique passant par x et de
raison  ppcm(a,a'), qui est bien incluse dans les deux suites précédentes. Cela suffit pour la propriété d'intersection.

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-09-2021 11:48:28)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#3 07-09-2021 11:16:12

bridgslam
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Re : Base de topologie

Bonjour,

On peut d'ailleurs rappeler le cadre de définition de ces notions dans un ensemble X.

[ topologie engendrée, prébase ]

Topologie T engendrée par une partie P de [tex]\mathscr{P}(X)[/tex]: c'est la plus petite topologie ( pour [tex]\subset[/tex] ) contenant cette partie P.  Elle existe, et est unique.
C'est l'intersection de toutes les topologies contenant P.
On dit aussi que P est une prébase de T (ou sous-base ).
Une partie S de T en est une prébase ssi l'ensemble des intersections finies de S en est une base ( voir infra )

Plus concrètement, la topologie engendrée par P est l'ensemble des réunions d'intersections finies d'éléments de P.

[ bases d'une topologie T donnée ]

Une partie B de T est une base (d'ouverts) de T ssi tout élément  de T  est réunion d'éléments de B

[ bases de topologie ]

Une partie C de [tex]\mathscr{P}(X)[/tex] est une base d'ouverts, ssi il existe une topologie T pour laquelle C est une base.
Cela revient à dire que la réunion de tous les éléments de C est X et que l'intersection de deux élément de C est une réunion d'éléments de C, les éléments de C suffisent donc par réunion à générer la topologie engendrée sans avoir besoin des intersections finies.

Perso j'ai toujours vaguement tendance à mélanger tout ça, un petit mémo est donc utile à mon avis.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#4 08-09-2021 07:26:30

bridgslam
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Re : Base de topologie

Bonjour,

En général l'écueil à éviter: si un ensemble de parties A engendre une topologie T, tout élément (ouvert) non vide  de T ne contient pas forcément un élément de A ( sauf si en plus A est une base évidemment).
Par-contre il contient nécessairement une intersection finie d'éléments de A.

Cette confusion occasionne de nombreux non-sens.
Ici, si on prouve pas d'abord que la famille considérée est une base de topologie, rien ne dit que tout ouvert non vide sera infini.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 09-09-2021 16:07:23

bridgslam
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Re : Base de topologie

Bonjour,

En rapport avec le sujet initial ( on suppose les raisons a non nulles ), il semble bien s'agir de la "topologie des entiers uniformément espacés":

Quelques propriétés si on veut se divertir un  peu (notées + pour les faisable , disons sans chercher trop loin). En voici un exemplaire:

L'intersection de deux éléments de la famille en est encore un (+).

Les éléments de la famille sont à la fois ouverts et fermés ( pour la topologie engendrée ).

La famille est une base de sa topologie engendrée(+), strictement moins fine que la topologie discrète (voir juste après)
Tout ouvert non vide est infini (+).

Il est facile d'exhiber un ensemble infini non ouvert (++)..

Elle est métrisable ( il est assez simple (+) de montrer qu'elle est déjà séparée en raisonnant sur les entiers naturels ). Ce résultat est donc plus fort, si quelqu'un a une idée de métrique je suis preneur :-), peut-être en rapport avec la métrique p-adique?

Elle est totalement discontinue: les plus grands connexes sont les singletons ( donc triviaux). Comme l'ensemble de Cantor.

On peut se servir de cette topologie pour montrer que l'ensemble des nombres premiers est infini (voir Fürstenberg).

Pour la partie de [tex]\mathbb{Z}[/tex] infinie non ouverte on peut par exemple considérer l'ensemble P  des nombres premiers positifs.
P = {2, 3 , ... }
Si P était un ouvert alors, étant une réunion d'éléments de la base:
2 devant appartenir à un [tex]A_{a,b}[/tex] ( b choisi minimum positif ) inclus dans P , b vaut forcément 2 (sinon 1 serait un nombre premier,  et si b = 0, quasi aucun multiple de a ne serait premier...), mais alors parmi les entiers 2 + na formant la suite arithmétique, il y en a des pairs > 2 ( avec n pair > 0 par exemple ) qui ne sont donc pas premiers. Contradiction puisque [tex]A_{a,b} \subset P[/tex]

Si vous avez d'autres résultats sur cette topologie, n'hésitez pas ...

Alain

Dernière modification par bridgslam (09-09-2021 19:02:03)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#6 10-09-2021 15:44:32

bridgslam
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Re : Base de topologie

Bonjour,

Pour ceux qui se seront penchés sur la question... de la séparation de la topologie

Texte caché

Pour montrer que la topologie engendrée est séparée, il suffit de montrer que si x et y sont des entiers distincts, il existe B1 dans la base et B2 dans la base , [tex]B1 \cap B2 = \emptyset, \;B1 \;contenant \;x, \;B2 \;contenant \;y [/tex] ( c'est même nécessaire puisque tout ouvert non vide est une réunion d' éléments de la base...) .

Soient donc [tex]x \ne y[/tex]. Posons [tex]d = 2(x - y)[/tex].
Alors en posant [tex]B1 = \{ x + nd \} \;et\; B2 = \{ y + md \}[/tex], il est clair que [tex]B1 \cap B2 = \emptyset[/tex] sinon  [tex] 0 \ne |x - y | \ge |d| \;avec\; |d|= 2|x-y| [/tex] ... impossible.
De plus [tex]x \in B1[/tex] et [tex]y \in B2[/tex].

Remarque : si on considère juste la famille { b +na} , a et b étrangers, sur [tex]\mathbb{N}^*[/tex], on peut montrer qu'on a aussi une base de topologie (avec un peu plus d'arithmétique, mais pas bien compliqué).
La topologie engendrée sur [tex]\mathbb{N}^*[/tex] est encore séparée.
On peut considérer cette fois les ouverts { x + n(xy +1 ) } et {y + m( xy +1) } dans cette famille pour séparer x et y.
Pas bien dur non plus pour prouver qu'ils ne se coupent pas.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 13-09-2021 10:08:50

bridgslam
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Re : Base de topologie

Bonjour,

Question subsidiaire, les propriétés  de la topologie qui nous intéresse permettent de prouver qu'elle est métrisable ( si on ne s'intéresse qu' à l'existence d'une métrique) au travers du théorème d' Urysohn , le fait que la base soit dénombrable ( clair ) y  jouant un rôle crucial:
Tout espace régulier à base d'ouverts dénombrable est métrisable.

Il est possible néanmoins d' y expliciter des distances, par exemple  regarder le papier de Dirmeier en pdf sur la toile
par exemple, qui passe par une "presque"-norme
au sens où on n'a pas l' homogénéïté positive, encore moins d'espace vectoriel évidemment ( mais ce n' est pas gênant, pour  définir la distance utile), et dont la distance induite fonde cette topologie sur les entiers.

Pas trivial tout ça quand-même, je retourne au galop vers des questions moins élaborées...
Cela aura peut-être eu le mérite d'intéresser des membres aimant la topo... et des espaces sortant de l'ordinaire.
Désolé pour les autres.

Trame d'une preuve possible pour les curieux

Soit q un réel > 1. Pour n entier posons [tex]|| n ||_q = \sum_{ k \; entier, k \;\nmid \;n } 1/q^k[/tex] ( somme infinie qui converge, à termes positifs et majorée par une série géométrique convergente de raison q>1 ).
On obtient les propriétés de séparation, symétrie,  et d'inégalité triangulaire classiques qui suffisent à obtenir une distance [tex]d_q[/tex], en posant bien-sûr [tex]d_q ( m, n) = || m - n  ||_q[/tex].
On montre relativement rapidement que la topologie étudiée et celle respectant cette métrique (pour q fixé) sont identiques.
Une propriété amusante est que le diamètre ( pour cette distance [tex]d_q[/tex] ) de l'espace [tex] \mathbb{Z}[/tex]est fini, et atteint par n'importe quels entiers consécutifs. La distance [tex]d_q[/tex] permet donc de "comprimer" au sens de cet espace métrique ce qui "s'étale" , des entiers  éloignés au sens classique, peuvent être très rapprochés ici.

Il était donc normal de trouver par des moyens basiques que la topologie était séparée.

Alain

Dernière modification par bridgslam (15-09-2021 08:57:30)


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