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#1 08-09-2021 16:19:09

Abdoumahmoudy
Membre
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Messages : 11

Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Bonjour
J'avais entendu qu'ils existent des intégrales ( sur un intervalle bornée ou intégrale impropre) qui ne peuvent pas être calculées . Pouvez vous me donner les plus connus de ces intégrales et des informations sur ces intégrales s'il existent ?

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#2 09-09-2021 16:22:04

Paco del Rey
Invité

Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Bonjour Abdoumahmoudy.

Si tu veux une réponse à ta question, il serait peut-être bon que tu précises ce que tu entends par

"intégrale qui ne peut pas être calculée."

Pour fixer les idées, est-ce que pour toi, l'intégrale \[ \int_1^2 \dfrac1t\, \text{d}t \]
peut-être calculée ?

Autrement dit, as-tu un théorème précis en tête ?

Paco.

#3 09-09-2021 17:06:48

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 11

Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Paco del Rey a écrit :

Bonjour Abdoumahmoudy.

Si tu veux une réponse à ta question, il serait peut-être bon que tu précises ce que tu entends par

"intégrale qui ne peut pas être calculée."

Pour fixer les idées, est-ce que pour toi, l'intégrale \[ \int_1^2 \dfrac1t\, \text{d}t \]
peut-être calculée ?

Autrement dit, as-tu un théorème précis en tête ?

Paco.

Non , cette intégrale que vous avez écrit est calculable et à une valeur numérique .
Toujours les intégrale que nous rencontrons sont soit des intégrales convergentes ou divergentes (généralisés) , mais existe-t-il des intégrales qui ne peuvent pas être calculées ?

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#4 10-09-2021 07:47:50

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Bonjour tout le monde,

Si je comprends bien  ta question, étant donné un intervalle [a , b [ , a fini, b quelconque:
Si on considère une fonction f intégrable ( au sens de Riemann ) sur tout segment   [ a, c ] inclus dans cet intervalle,
il y a plusieurs possibilités:

- la limite de la valeur de l'intégrale de f sur [a,c] quand c tend vers b existe et est finie, alors on dit que f est intégrable sur [a,b[, mais
  on prouve souvent qu'une limite existe sans savoir donner sa valeur. Sa valeur est alors cette limite finie.

- même propriété mais la limite est infinie. A vérifier, mais sauf erreur on dit quand-même que l'intégrale existe mais diverge.

- pas de limite, f n'est pas intégrable sur [a, b[

Déjà sur un segment, donc sans parler d'intégrale généralisée, si par exemple la fonction est continue sur ce segment, elle est intégrable, mais  sa valeur littérale est souvent inaccessible. On utilise plutôt des calculateurs et des algorithmes pour approcher sa valeur.

exemple [tex]\int_2^3 ln( ln(ln(t)))dt[/tex] existe [ prendre plutôt entre 16 et 17 l'intégrale, voir la remarque de Paco plus bas , sinon l'un des log s'annule], essaie de donner sa valeur...

Les mêmes questions se retrouve dans le domaine des séries: la suite 1+1/2+... +1/n - ln(n) a bien une valeur lorsque  n tend vers l'infini.
Je te paye des prunes si tu me donnes son expression avec une formule quelconque.

Pour être plus clair, il faudrait préciser ce que tu entends par "ne peut être calculée".
Dans la majorité des cas  on accède  à la valeur par des procédés numériques approchés, à défaut d'expressions analytiques.

La valeur numérique existe toujours (par définition)quand la fonction est intégrable.
Donner son expression au moyen de fonctions est souvent irréalisable ( par-contre l'analyse complexe permet exceptionnellement de trouver certaines valeurs d'intégrales ou séries, utiles en mécanique statistique par exemple )
Théoriquement l'intégrale de Riemann étant définie comme une limite, je dirais qu'il est normal de souvent n'y accéder que par procédé de limites.

Sinon celle présentée par Paco est ln(2).

A part ça, certaines fonctions étant justement définies par des intégrales ( je pense par exemple à la fonction [tex]\Gamma[/tex] d'Euler )
tout dépend de ce qu'on entend par "exprimable" , et ça sort de mes compétences en analyse).



Alain

Dernière modification par bridgslam (10-09-2021 12:03:24)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 10-09-2021 08:07:49

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Re-bonjour,

Après pour avoir une notion plus complète ( au sens propre et au figuré) de l'intégration, il faut plonger dans la théorie de Lebesgue qui s'appuie essentiellement sur la théorie de la mesure de Borel, ou celle de Kurzweil-Henstock très jolie avec ses jauges (Gauje-intégration).
Ce n'est pas immédiat à piger et il faut du temps disponible pour ce genre de plongeon théorique ( qui rafraichît les idées ), à moins de s'orienter dès le départ de ses études vers les probas-stats, où ce sont les tribus qui jouent, et les fonctions mesurables au travers des "variables" aléatoires.
Je ne le conseillerais pas à des étudiants en début d'études supérieures, bien que pour celle de  Lebesgue on puisse limiter l'étude à un cadre beaucoup plus restreint, ce que fait d'ailleurs Fraysse-Arnaudiès ( chez Dunod) dans sa présentation de base de l'intégration, son voeu étant de présenter simplement la "vraie" intégrale.
De mémoire certains bouquins d'initiation à l'analyse ( Warusfel ?) franchissent carrément  le Rubicon en présentant celle de Kurzweil-Henstock.
Chacun voit midi à sa porte...

Alain


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#6 10-09-2021 10:04:42

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Notamment voici une propriété subtile qui permet à la fois d' imaginer un voie possible vers d'autres intégrales plus générales, et de comprendre l'importance du rôle assez restrictif joué par la continuité ( ou pas) dans l'intégrale de Riemann:

Une fonction [tex]f: [a,b] -> \mathbb{R} [/tex] est Riemann-intégrable <=> elle est bornée et l'ensemble D de ses points de discontinuité est négligeable (*)

(*) Une partie de [tex] \mathbb{R}[/tex] est négligeable s'il est possible de la recouvrir par une famille dénombrable d'intervalles dont la somme des longueurs ( ça a un sens, voir les séries à termes positifs...) peut être rendue aussi petite qu'on veut.

Ceci explique cela, pour les fonctions continues sur un segment ( D est vide ) , les fonctions en escaliers (D est fini) , les fonctions monotones - ou réglées, th. de Froda -  sur un segment (D est discret) ... etc l'intégrale de Riemann fonctionne...
Mais on a envie de dire sans toupet  que des fonctions nulles presque partout ( mais qui oscillent tout le temps, donc aux points de discontinuité non négligeables, et même pourquoi pas non bornées  **) sont intégrables (sens justement à définir), d'intégrale nulle.
Là on doit passer par la théorie de Lebesgue.

(**)Par exemple la fonction  [tex]   [0,1] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] qui si x est irrationnel associe 0, et si r = p/q, p et q étrangers associe q.
La partie où elle ne vaut pas 0 ( et n'est même pas bornée d'ailleurs ) est négligeable, par-contre pas ses points de discontinuité.
Son intégrale au sens de Riemann n'a donc pas de sens, pourtant celle de Lebesgue existe et ... vaut... 0.

L'intégrale de K-H quant-elle resserre à loisir (et juste là où il le faut, comme on veut, contrairement à Riemann, donc avec une souplesse maximum ) grâce à une jauge, les écarts de subdivision sur le segment, limitant les effets d'oscillations locales, afin de pouvoir donner un sens à l'intégrale, tandis que celle de Riemann n'en aura pas.

Dans le cadre de ces théories plus étendues, il va sans dire( sauf très cas particuliers - comme celui donné - que la valeur est souvent non exprimable analytiquement, mais, consolation, elle existe...

Toutes ces affaires ne sont pas si simples quand on n'y a pas opéré une bonne synthèse, mais peuvent te donner j'espère goût à l'analyse.

Alain


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#7 10-09-2021 10:24:38

Paco del Rey
Invité

Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

BridgSlam a écrit :

exemple \( \displaystyle \int^3_2 \ln(\ln(\ln(t))) \, \text{d}t \) existe, essaie de donner sa valeur...

Je demande à voir. Surtout pour l'existence.

Paco.

#8 10-09-2021 11:44:15

bridgslam
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Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Bonjour,

J'ai pas vérifier par grosse flemme pour la définition pour éviter un argument nul d'un des log ( e est justement entre 2 et 3).
Prends d'autres bornes , 1000 et 1010 par exemple, la problématique restera identique.
L'intégrale a une valeur ( la fonction composée est bien continue non?), mais inconnue sauf à s'appeler Mme Soleil.
A moins que toi tu saches en trouver une primitive?

L'idée était simplement de trouver une fonction continue ( et bien-sûr définie) sur un intervalle compact qui soit un peu moins immédiate que les fonctions trigo, affines , exponentielles ou tout ce que tu veux.
Mais tu as eu raison de vérifier pour les bornes, il suffit de prendre ici un segment à droite de [tex]e^e[/tex] ça doit suffire sauf erreur.

Pour ne pas se casser la tête sur l'intervalle de  définition tu peux prendre [tex]\int_a^b e^{e^{e^t}}dt[/tex] au lieu des logarithmes si tu préfères..., a et b quelconques

Alain

Dernière modification par bridgslam (10-09-2021 12:10:48)


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#9 10-09-2021 13:27:18

bridgslam
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Re : Intégrales qui ne peuvent pas être calculées

Bonjour,

Par-contre j'avoue que la notion d'intégrale généralisée ( par exemple sur un intervalle non borné ) est assez dérangeante pour moi ( c'est peut-être pour cela qu'on la nomme intégrale "impropre" ...)
La construction de Riemann se faisant sur un segment, et déjà au moyen de limites, faire tendre ensuite une borne vers l'infini revient à faire en un certain sens une limite de limites, en supposant que cela ait du sens par rapport à une "pseudo intégrale" qu'on imagine effective mais impossible à décrire par le procédé de Riemann. On peut déjà se demander pourquoi ne pas inverser l'ordre des limites, d'abord varier la borne, puis l'autre, ce qui n'a pas de sens en l'occurence pour le procédé de Riemann. Les "fonctions en escaliers" approchant la fonction sur un intervalle non borné auraient par exemple des intégrales infinies, etc.
La construction de Lebesgue prend d'emblée la fonction sur toute la droite numérique, quitte à restreinte ensuite sur une partie mesurable quelconque. Elle est applicable aussi sur des ensembles plus abstraits ( munis d'une tribu).
La vapeur est complètement inversée et s'intéresse aux fonctions mesurables positives, dont l'intégrale finie ou pas a toujours un sens, préalablement  aux fonctions intégrables dont la différence des intégrales des parties positives doit être finie.

Pour Abdoumahmoudy qui semble rentrer dans le sujet, je dirais de ne pas trop fouiller de ce côté sauf s'il a beaucoup de temps à y consacrer ( avis très personnel ).
Savoir déjà si une fonction est intégrable ( au sens de Riemann) , éventuellement pouvoir en calculer une primitive, connaître le théorème fondamental qui relie dérivée et intégration, connaître les relations serrées séries-intégrales, regarder si une intégrale impropre converge, la propriété de linéarité de l'intégrale, quelques majorations, quelques normes à base d'intégrales, en bonus l'intégration par parties ( apparemment plus au programme de terminale ?) quelques applications en physique ... cela est déjà assez consistant et me semble nettement plus prioritaire pour un bon démarrage en théorie de l'intégration, au dépend certes des nombreuses questions métaphysiques ( ce qui est calculable, exprimable, ce qui a un intérêt etc), mais évite de rentrer dans des questions trop profondes en y perdant son temps.
Quitte à peaufiner par paliers par la suite pour en avoir un horizon plus large et plus clair, sous réserve de temps disponible évidemment.

Alain


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