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#1 07-07-2021 13:57:32

Bernard-maths
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MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous !

Cette 1ère discussion va servir de table des matières, évolutive en fonction des thèmes abordés, et des réactions de ceux qui participeront :

Le n° fait référence à la discussion : 03 -> discussion #3.

01 -> Table des matières

02 -> De quoi s'agit-il ? Et les alternatives ?

03 -> Max et le cube. Et en 2D ...

04 -> Puis le parallélépipède rectangle. Et en 2D ...

05 -> Equations de plans en 3D, ou de droites en 2D.
         Avec ou sans symétrie ...

06 -> Comment écrire des équations de plans ?

07 -> Pratiquement, 1er exemple programmé et dessiné par Wiwaxia.

08 -> Pratiquement, 2 variantes, GeoGebra et Maple.

09 -> Le triangle quelconque ...

10 -> Deux théorèmes pratiques !

11 -> Exemple rapide d'un polyèdre : l'ennéaèdre.

12 -> D'autres exemples à voir ailleurs ...

13 -> De l'octaèdre au cube dual, en trafiquant un peu ...

Dernière modification par Bernard-maths (08-09-2021 12:45:57)

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#2 07-07-2021 14:05:46

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Table des matières 02 :

De quoi s'agit-il ? Ni plus ni moins que de vous présenter une méthode permettant d'écrire une équation cartésienne implicite de n'importe quel polygone du plan (en 2D), ou polyèdre de l'espace (en 3D), pourvu qu'il soit convexe !


Cette méthode utilise une fonction, la fonction max, qui doit être "implémentée d'une bonne façon" pour produire l'effet que je vais vous décrire. Cela sous-entend que la formule écrite risque de ne pas donner la même chose, selon les langages de programmation utilisés !?

Pour le moment je ne maitrise pas ce risque : ainsi j'ai développé des formules traçables avec le logiciel de calcul canadien "Mapple" (qui veut dire érable). Avec GeoGebra, ou d'autres (?), ça ne donne rien, etc ...

Je compte donc sur vous, expérimentateurs, pour me dire si les exemples qui vont suivre, fonctionnent correctement (= comme prévu), ou non, sur les différents logiciels que vous utiliserez, ou avec les langages de programmation ...

ALORS ? Cette méthode permet d'obtenir une équation dans n'importe quel cas (convexe !). MAIS ce n'est pas forcément la seule possibilité ... donc j'aborderai également des variantes possibles ... avec leurs avantages / inconvénients associés.


ENFIN : ce que j'écris résulte de mes recherches personnelles ; si j'emprunte quelque chose, je le dis. Pour le moment je n'ai pas trouvé sur internet de méthode "équivalente", donc si vous avez connaissance de quelque chose s'y rapportant, soyez aimables de me le dire, qu'on (re)mette les choses à leurs places ... Merci.


Je passe au 2ème point.

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 15:51:33)

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#3 07-07-2021 14:37:26

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Table des matières 03 :

Comment j'ai connu MAX ?

La 1ère fois, en promenade sur internet, en cherchant "équation de cube" ... il y a bien 6 ans ou plus ? C'était resté un gadget !

Mais dernièrement, en échangeant des équations avec Robert Ferréol (Mathcurve), il s'est rendu compte que la fonction max pouvait simplifier des équations ! Alors depuis j'étudie cette fonction, en particulier pour des équations périmétriques de polygones et surfaciques de polyèdres, tous convexes !

Alors pour commencer, voilà : max(|x|,|y|,|z|) = 1. En tapant cette formule, vous aurez des résultats, qui ont tendance à augmenter au fil du temps ...

Alors cette formule indique que des 3 nombres |x|,|y| et |z|, l'un des trois, au moins, vaut 1, et les 2 autres ≤ 1.
Ainsi, par exemple, si on suppose que |x| = 1, alors c'est que x = ±1, et que -1 ≤ y ≤ 1, ainsi que -1 ≤ z ≤ 1.

Alors x = 1 et x = -1 sont les équations de 2 plans parallèles, et dans chacun  -1 ≤ y ≤ 1 et -1 ≤ z ≤ 1 définissent un carré plein. En tout on a donc 2 carrés pleins parallèles. En prenant ensuite |y| = 1, puis |z| = 1, on obtient 2 + 2 = 4 autres carrés pleins, et donc en tout les 6 faces carrées (pleines) d'un cube. Les coordonnées des 8 sommets sont : (±1,±1,±1).


Si on prend cette formule, réduite à 2 variables x et y : max(|x|,|y|) = 1 on obtient un carré, en tant que ligne périmétrique ... 4 sommets de coordonnées (±1,±1).

KGioHHjzQfJ_Carr%C3%A9-et-Cube-2021-07-08.png

Sur la figure de droite, tracée avec Maple, on a gardé un cube en traits noirs, celui de l'espace de tracé. Sur la figure de gauche, le carré est tracé avec GeoGebra ; on voit clairement que le segment [AD] rouge correspond à x = 1 ET -1 ≤ y ≤ 1, etc ...


Sur ces figures, nous voilà limités à 1 ... seraient-ce des équations ... "canoniques" ...?

Essayons de changer les dimensions ...

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 15:51:52)

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#4 07-07-2021 17:09:54

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Table des matières 04 :


Transformons le cube en parallélépipède rectangle !

Soient 3 nombres positifs a, b et c, non nuls. Et la formule : max(|x|/a,|y|/b,|z|/c) = 1.


Alors, on peut reprendre le raisonnement précédent ... faisons du "copié-collé-adapté ..."

Donc cette formule indique que des 3 nombres |x|/a,|y|/b et |z|/c, l'un des trois, au moins, vaut 1, et les 2 autres ≤ 1. Ainsi, par exemple, si on suppose que |x|/a = 1, alors c'est que x = ±a, et que -b ≤ y ≤ b, ainsi que -c ≤ z ≤ c.

Alors x = a et x = -a sont les équations de 2 plans parallèles, et dans chacun  -b ≤ y ≤ b et -c ≤ z ≤  définissent un carré rectangle plein. En tout on a donc 2 rectangles pleins parallèles. En prenant ensuite |y|/b = 1, puis |z|/c = 1, on obtient 2 + 2 = 4 autres rectangles pleins, et donc en tout les 6 faces rectangulaires (pleines) d'un cube parallélépipède rectangle. Les coordonnées des sommets sont : (±a,±b,±c).


Si on prend cette formule, réduite à 2 variables x et y : max(|x|/a,|y|/b) = 1 on obtient un rectangle, en tant que ligne périmétrique ... 4 sommets de coordonnées (±a,±b).

KGioIVr480J_Rectangle-et-Parall%C3%A9l%C3%A9-2021-07-08.png
Sur les figures, a = 4, b = 3 et c = 2.


DONC : on peut changer les dimensions en divisant les variables par les dimensions souhaitées correspondantes ...

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 15:52:15)

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#5 07-07-2021 19:01:51

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Table des matières 05 :

Quelques équations de plans.

En reprenant l'équation du parallélépipède rectangle, on a vu que : max(|x|/a) = 1 correspond aux 2 plans parallèles d'équations x = -a et x = a. Si on se restreint à : max(x/a), on n'a plus qu'un plan d'équation x = a ... Et max(x/a,y/b,z/c) = 1 donnera une surface composée de 3 quarts de plans, d'équations respectives x = a, y = b et z = c, de "sommet" commun S(a,b,c), et de 3 arêtes, des demies droites issues de S.

KGiphqSokgJ_Plans-par-2-et-3-2021-07-08.png

Sur ces images, les tracés s'arrêtent au niveau du cube de l'espace de ... traçage. Les plans sont ainsi coupés droit ... ce qui peut "fausser" la perception de l'image ! Donc, à gauche, on a 2 plans parallèles (et non des carrés). A droite, les 3 quarts de plans se continuent ...

Remarquons que : Si une des formules dans la fonction, max, utilise des valeurs absolues, alors on aura (en général ?) des formes symétriques par rapport au point O ; sinon on n'aura qu'une seule forme (sans symétrie) ...

Et en général : voyons ce que donne une équation de plan, par rapport au centre O du repère.
Si a, b, c et d sont 4 réels, tels que a² + b² + c² = 1, l'équation : ax + by + cz + d = 0 est ce que j'appelle une équation cartésienne "normalisée". En effet la distance du point O à ce plan est donné par :

|ax+by+cz+d|/√(a²+b²+c²) = |d| !

où le vecteur n de coordonnées (a,b,c) est un vecteur unitaire, normal au plan considéré. Si l'on se réfère à un repère polaire (O,ρ,θ,ψ) , on aura alors : a=cos(θ) cos(ψ), b= sin(θ) cos(ψ) et c=sin(ψ).

Que donne alors une équation telle que : max(ax + by + cz + d) = 0 ?

Avec θ = 45°, et ψ = 45°, et d = 4 ? L'équation s'écrit : max(x/2+y/2+√2z/2 + 4) = 0. Première image ...


KGitvvY7ASJ_Plans-par-1-1-et-2-2021-07-08.png

Remarquons qu'elle peut aussi bien s'écrire : max(x/2+y/2+√2z/2) = -4. La suivante : max(x/2+y/2+√2z/2) = +4. Remarquer la symétrie des 2 figures, par rapport à O !
Et enfin la dernière, qui regroupe les 2 premières : max(abs(x/2+y/2+√2z/2)) = 4.


Alors, quelle forme choisir, selon les situations ?

A voir plus tard ... !

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 16:29:55)

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#6 15-07-2021 17:09:56

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Et à Wiwaxia ! Table des matières 06 :

Ecrire des équations de plans :


Pour écrire des équations de plans, je vous propose de passer par un vecteur normal et unitaire ...

1) Pour avoir un tel vecteur, et choisir son orientation ...
si on se réfère à des coordonnées sphériques (O, rho, thêta, ksi), par rapport au repère (O, x, y, z) orthonormé, on peut prendre le vecteur n, de coordonnées : x(n) = cos(thêta)*cos(ksi), y(n) = sin(thêta)*cos(ksi), et z(n) = sin(ksi).

Ainsi, ce vecteur a sa direction déterminée par les 2 angles thêta et ksi (dans le plan (xOy), et son orientation verticale dans un plan contenant l'axe (z'z). Et alors sa norme vaut 1 ! Ce qu'on voulait !


2) Si on considère maintenant le plan d'équation : ax + by + cz + d =0, avec a = x(n), b = y(n), c = z(n), et d>0, alors ce plan est à la distance d de O, et on va de O vers le plan dans le sens de n.


3) Si on considère ensuite le plan d'équation : ax + by + cz - d =0, avec a = x(n), b = y(n), c = z(n), et d>0, alors ce plan est à la distance d de O, et on va de O vers le plan dans le sens contraire de n.

4) Si on considère enfin le plan d'équation : abs(ax + by + cz + d) =0, avec a = x(n), b = y(n), c = z(n), et d>0, alors on a 2 plans parallèles, situés à la distance d de O.



C'est ce qu'il s'est passé avec l'exemple précédent des 3 dernières images de la discussion précédente !


5) SI on veut des équations de droites (en 2D), on reprend les mêmes principes, avec la variable z en moins ...


Nous allons voir, plus loin,2 exemples, en reprenant des cas programmés et dessinés par Wiwaxia !

Aplus donc.

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 16:25:05)

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#7 16-07-2021 14:14:49

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Et à Wiwaxia ! Table des matières 07 :

Pratiquement, 1er exemple programmé et dessiné par Wiwaxia.

1) D'abord un hexagone irrégulier, à centre de symétrie. Voici une figure :

KGrnsHPIrJJ_Bib-Hexagone-01-3-59-2021-07-16.png

En premier les références de la figure, et des discussions alentour ...

En deuxième, le dessin de Wiwaxia : un hexagone plein en bleu, tour compris !

En troisième une figure GeoGebra, pour différencier des situations ...

On y voit bien les 6 sommets, et on remarque qu'ils sont bien symétriques, deux à deux, par rapport au centre du repère C.

Ensuite on distingue bien le tour de l'hexagone plein, en bleu foncé, de son intérieur strict, en bleu clair. On a donc 3 hexagones : le plein, le périmètre, et l'intérieur strict !

Comment trouver ces 2 équations ?         

Dans les 2 cas nous aurons besoin des équations des droites supports des côtés, ou de la droite parallèle passant par le centre C.

Pour les droites (A1A2) et (A4A5), prenons comme vecteur normal n1 = orthogonal à vecteur(A1A2) / A1A2, donc n1 de coordonnées (4/sqrt(17),1/sqrt(17)). Où sqrt(17) = racine carrée de 17 ... La droite parallèle passant par C a donc pour équation (normalisée) d1 : 4x/sqrt(17) +y/sqrt(17) = 0 !

La distance de A1 à d1 vaut ... 19/sqrt(17). On en tire les équations de (A1A2) : 4x/sqrt(17) +y/sqrt(17) = 19/sqrt(17), et de (A4A5) : 4x/sqrt(17) +y/sqrt(17) = 19/sqrt(17), simplifiables en : 4x + y = 19 et 4x +y = -19.

KGrnZmp12WJ_Bib-Hexagone-02-3-59-2021-07-17.jpg

Vous remarquez alors que l'hexagone se trouve dans la bande de plan limitée par les 2 droites parallèles d12 d45 ...

Regardons alors la figure suivante :on a placé un point M dans la bande de plan, et aussi dans l'hexagone. M se projette en I sur d12 et en J sur d45. La mesure de IJ est égale à la largeur de la bande, et on lit à gauche que ij = 9.22 = 2*19/sqrt(17).

Si vous déplacez, par la pensée, le point M, vous constatez que M est dans la bande si, et seulement si, MI + MJ = IJ = ... 9.22. En effet si M sort de la bande, par exemple à gauche, alors M est à gauche de J, et donc MI > 9.22, MI + MJ aussi !

KGspoNKlREJ_Bib-Hexagone-03-3-59-2021-07-18.jpg

Pour traduire analytiquement cette propriété, il suffit d'écrire que : dist(M,d12) + dist(M,d45) = IJ. Ce qui donne eq1 : abs(4x +y - 19) + abs(4x +y + 19) = 2*19 = 38.

En programmant cette équation dans GeoGebra, on obtient cette figure :

KGsquK6zsZJ_Bib-Hexagone-04-3-59-2021-07-18.jpg

On y voit des petits segments en zigzag qui bordent les 2 droites, à l'intérieur de la bande ! C'est la "façon GeoGebra" pour indiquer une "zone pleine". Et Mapple ne donne rien, lui ! SI ! C'est moi qui ne savais pas !!!


ALORS, la suite ? Il faut faire de même avec les 2 fois 2 autres côtés ...

Ce qui mène à : n2 = vecteur normal à (A2A3) de coordonnées n2 = (1, 2) / sqrt(5), n3 = vecteur normal à (A3A4) de coordonnées n3 = (-3, 7) / sqrt(58).

Puis les équations des droites ...  d2: x / sqrt(5) + 2y / sqrt(5) = 0, d23: x / sqrt(5) + 2y / sqrt(5) = 10 / sqrt(5), et d56: x / sqrt(5) + 2y / sqrt(5) = -10 / sqrt(5), en orange. Simplifiables en d23: x + 2y = 10, et d56: x + 2y = -10.

Puis celles des droites ... d3: -3 x / sqrt(58) + 7y / sqrt(58) = 0, d34: -3 x / sqrt(58) + 7y / sqrt(58) = 22 / sqrt(58), et d61: -3 x / sqrt(58) + 7y / sqrt(58) = -22 / sqrt(58), en vert. Simplifiables en d34: -3 x + 7y = 22, et d61: -3 x + 7y = -22.

Ce qui permet de définir des équations pour les bandes de plan suivantes : entre d23 et d56 (orange), soit : eq2 : abs(x+2y-10) + abs(x+2y+10)=20.
Puis entre d34 et d61 (vert), soit : eq3 : abs(-3x+7y-22) + abs(-3x+7y+22) = 44.

KGstFNlcwCJ_Bib-Hexagone-05-3-59-2021-07-18.jpg

Sur cette figure, on distingue clairement les 3 bandes de plans ... Pour définir une équation de l'hexagone, il suffit d'additionner les 3 équations membre à membre ... car il s'agit d'équations "minimalistes" ...

Une équation de l'hexagone est donc : (abs(4x +y - 19) + abs(4x +y + 19)) + (abs(x+2y-10) + abs(x+2y+10)) + (abs(-3x+7y-22) + abs(-3x+7y+22)) = (38) + (20) + (44)

Ce qui donne :

KGstYlupTTJ_Bib-Hexagone-06-3-59-2021-07-18.jpg

On distingue nettement le tour de l'hexagone, avec des rayures bleues foncé à l'intérieur ... ce qui veut dire hexagone plein !


ET la deuxième équation de l'hexagone périmètre ?

Je vous propose l'équation suivante : max(abs(4*x + y) - 19, abs(x + 2*y) - 10, abs(-3*x + 7*y) - 22) = 0.

Qui est programmé sur "Mapple", et qui donne :

KGucKTxoDyJ_Bib-Hexagone-06bis-3-2021-07-19.jpg

En haut, le programme Mapple, et dessous, l'hexagone, vu en "perspective" dans un repère 3D.



Comment ça marche ?

Reprenons l'équation proposée (en noir, orange et vert). La fonction max impose que l'une des 3 "sous-équations", au moins, soit nulle ! Si c'est la 1ère en noir : abs(4x+y)-19=0, conduit à 2 équations de droites : 4x+y=19 ou 4x+y=-19. On reconnaît les droites d12 // d45 ! D'où les côtés [A1A2] et [A4A5] parallèles.


Si c'est la 2ème en orange : abs(x + 2*y) - 10=0, qui donne 2 droites : x+2y=10 et x+2y=-10, soit d23 // d56, côtés [A2A3] // [A5A6].

Si c'est la 3ème en vert : abs(-3x+7y)-22=0, qui donne 2 droites :-3x+7y=22 et -3x+7y=-22, soit d34 // d61, côtés |A3A4] // [A6A1].


C'est à peu près le même scénario qu'avec le cube max(|x|,|y|,|z|) = 1, en discussion #3 !


Dans la discussion suivante, nous allons aborder 3 variantes sur les équations !

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 15:53:39)

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#8 20-07-2021 09:02:00

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Table des matières 08 : 3 variantes.

Variante 1, avec GeoGebra  : déformation de l'hexagone, mais les côtés opposés restent parallèles.

KGupnNQaqJJ_Bib-Hexagone-07-3-2021-07-20.jpg

Sur cette figure, on voit qu'on a déplacé le côté [A3A4] vers le haut. Ainsi la droite d34 (en tirets verts) est passée en position d'34, mais d61 n'a pas bougé. Alors la droite "moyenne" est passée de d3 (en tirets verts) à d'3. Les équations sont maintenant pour d'34 : -3x+7y=48, d61 est restée à : -3x+7y=-22, et pour d'3 : -3x+7y=13 ... 13 est la moyenne entre +48 et -22 !

Nous pouvons donc modifier l'équation du nouvel hexagone par eq5: abs(4x + y - 19) + abs(4x + y + 19) + abs(x + 2y - 10) + abs(x + 2y + 10) + abs(-3 x + 7y - 48) + abs(-3 x + 7y + 22) = 38+20+70, ce qui donne :

KGupRrGGOiJ_Bib-Hexagone-08-3-2021-07-20.jpg

D'où l'hexagone plein en rouge !


Variante 2, avec Mapple ? Une équation "max" dérivée de l'équation "pleine" est :

max(abs(4*x + y) - 19, abs(x + 2*y) - 10, abs(-3*x + 7*y - 13) - 35) = 0. Qui donne bien l'hexagone périmètre !

KGuquWlYztJ_Bib-Hexagone-07-3-2021-07-20.jpg

Le triangle pour la suite !

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 16:36:38)

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#9 19-08-2021 18:05:20

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonsoir à tous !

On va voir le triangle quelconque, plein ou périmètre ...

KHxq5EHzw2b_Triangle-1-ABC-2021-08-23.png

ABC est un triangle quelconque, obtenu en plaçant 3 points A, B et C (dans le sens trigo), puis en traçant les 3 droites f de A vers B, g de B vers C, et h de C vers A.
Puis on trace les droites parallèles i // f, j // g et k // h.

On peut voir les équations des 6 droites, et les coordonnées de 3 points sur la figure. Et constater que les droites parallèles ont les mêmes coefficients pour x et pour y, et des termes constants différents …
Si on commence par définir le triangle comme l’intersection de 3 bandes de plan, voici les équations et figure associées :

KHxrbfspYub_Triangle-1bis-ABC-2021-08-23.png

On remarque les 3 bandes, rouge entre les 2 droites rouges, avec les tirets rouges montrant que GeoGebra considère que tout l’espace entre les 2 droites est « rempli » …
eq1 correspond à a(x,y) avec 82 = 28 – (-54) = 82 ! Etc …
Et finalement le triangle plein ABC est donné par la somme des 3 équations des 3 bandes : eq4 !

KHxrfwgAm8b_Triangle-1ter-ABC-2021-08-23.png

Avec les tirets noirs à l’intérieur. Ou bien avec Maple aussi.

Si maintenant on définit le triangle par les 3 droites seulement, il faut s’arranger pour avoir des fonctions, associées aux équations des 3 droites, toutes de même signe vers l’intérieur du triangle !

Par exemple O(0,0) est à l’intérieur de ABC, et f(x,y) = 3x – 8y + 28. Calculons f(xO,yO) = f(0,0) = +28 > 0. On trouve de même que g(0,0) = +10 > 0, et que h(0,0) = +34 > 0 !

On va alors utiliser la fonction « min » :     min(3x-8y+28,4x+3y+10,-11x+2y+34) = 0 !    avec « Maple » !


KHxrmUVaJZb_Triangle-1qua-ABC-2021-08-23.png

Remarque : si les signes ne sont pas tous les mêmes, alors il faut choisir, et changer ceux qu’on veut, pour les avoir tous pareils, et choisir la bonne fonction max ou min !

Dernière modification par Bernard-maths (23-08-2021 17:14:57)

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#10 19-08-2021 18:06:43

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonsoir à tous !

Entre les exemples présentés avant, et après, je pense pouvoir insérer 2 théorèmes pratiques = les formules, si comprises par le logiciel, vont donner le polygone, ou le polyèdre !

On peut distinguer au moins 2 manières d’obtenir des équations d’objets : équation périmètre (en 2D) ou surfacique (en 3D) (donc « traditionnelle »), et équation « pleine » = du périmètre ET de la surface (en 2D) ou volume intérieur ET surface) (en 3D).
Ici, les objets sont des polygones plans convexes, ou des polyèdres convexes de l’espace 3D.

Soit un polygone, ou un polyèdre, convexe, constitué de n côtés, ou de n faces (polygonales convexes).

Soient f1, f2 … fn des équations cartésiennes implicites des n droites, ou n plans, supports des n côtés ou faces.

Ainsi : fi(x,y) = ai x + bi y + di = 0, pour les polygones, ou fi(x,y,z) = ai x + bi y + ci z + di = 0, pour les polyèdres …


Soit O un point intérieur à l’objet (pratique à utiliser, et pouvant varier selon les fi considérés).

Soit enfin f’i = 0 l’équation de la droite, ou du plan, parallèle à la droite, ou au plan, d’équation fi = 0, et passant par le sommet de l’objet qui en est le plus éloigné. Donc f’i(x,…) = ai x + bi y … +d’i = 0.

Alors l’espace, situé entre les 2 parallèles d’équations fi = 0 et f’i = 0, est une « bande de plan », ou une « tranche d’espace », qui contient l’objet concerné.

Enfin, la fonction max doit être disponible, pour le théorème 1, par exemple sur « maple » …


Les 2 théorèmes suivants sont pratiques, à condition que le logiciel utilisé « comprenne » les équations proposées !


Théorème 1 :
Si tous les fi(xO,yO) ou fi(xO,yO,zO) sont négatifs, alors une équation de l’objet est donnée par : max(f1, f2 … , fn) = 0.


Théorème 2 :
Une équation de l’espace compris entre les 2 parallèles d’équations fi = 0 et f’i = 0 est : |fi|+|f’i|=|di – d’i|.

Une équation de l’objet plein est alors : ∑ (i=1 à n)(|fi|+|f’i|) = ∑ (i=1 à n)(|di – d’i|).


Remarque : si l’objet présente des éléments de symétrie(s), les équations peuvent se « compacter/simplifier » …

Sauf erreur, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (26-08-2021 07:40:22)

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#11 19-08-2021 18:10:34

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonsoir à tous !

Je vais ici vous montrer une équation de polyèdre convexe, et j'ai choisi l'ennéaèdre, que vous trouverez sur "Mathcurve".

Il s'agit d'une belle figure à 9 faces "quasi régulières" 6 pentagones et 3 carrés ! Je l'ai reproduit sur GeoGebra :

KHtsr6Vg1Tb_Enn%C3%A9a%C3%A8dre-pour-Bibmath.png

Je ne vais pas entrer dans tous les détails, on verra plus tard, mais je vais résumer la méthode :

Ici nous avons 9 faces. Pour chacune, nous calculons une équation cartésienne du plan. Nous arrangeons ces équations pour que le partage de l'espace en 2 demi-espaces donne le signe négatif du côté du point O, qui est intérieur à l'objet ! On peut alors écrire dans "Maple" :

KHtsJG0Vsnb_Enn%C3%A9a%C3%A8dre-Maple-pour-Bibmath-2021-08-20.jpg

Vous avez l'équation, suivie de l'image.

Voilà pour aujourd'hui. Un peu rapide, mais il faut que je reprenne doucement ...

Bonne soirée, Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (24-08-2021 09:15:23)

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#12 08-09-2021 07:17:07

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous ! Et à Wiwaxia ...

Des applications des 2 théorèmes ? Vous en trouverez aussi dans "Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures".
Plusieurs cas sont traités et vous font voir différentes façons de trouver et utiliser des formules générales, génératrices de familles de polyèdres, et de les voir évoluer ... en utilisant l'un des 2 théorèmes, et la puissance de "Mapple" pour tracer des polyèdres ...

En particulier, partant d'une équation de cube plein, on peut arriver à son dual octaèdre. MAIS en passant par le rhombicuboctaèdre, ce qui permet d'en obtenir une équation !

On peut alors chercher réciproquement à faire le contraire : partir d'une équation d'octaèdre plein, et chercher son dual cube ... Surprise : dans la manoeuvre, on bloque finalement sur le cuboctaèdre ! Dont on retrouve une équation ... Comment arriver au cube alors ?

Ce sera le sujet suivant, que je vais développer !!!

Je vous conseille vivement de revoir ces thèmes ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (08-09-2021 11:46:50)

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#13 08-09-2021 07:43:32

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes !

Bonjour à tous !

Quand ça passe pas d'un côté, on passe par l'autre ...

Quand on a une équation de cube plein, on utilise 3 tranches d'espace pour les 3 paires de faces opposées. Chaque tranche découpe l'espace en 3 parties : entre les plans, en-dehors de chaque côté. Pour les 3 tranches, cela fait 3*3*3 = 27 morceaux d'espace ... mais la forme du cube est "simple", et les surfaces de niveaux "faciles" à voir !

Si on part de l'octaèdre plein, de forme "moins simple" (les angles ...), il y a 4 tranches d'espaces, et donc 3*3*3*3 = 81 morceaux d'espace ... ça fait beaucoup plus ! Les surfaces de niveaux sont plus complexes, ça se voit sur les figures données, dans "Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures" !

DONC ici, je vais vous proposer de construire une figure qui fait passer de l'octaèdre au cube.

Je propose de partir d'une image intermédiaire entre le cube et l'octaèdre :

KIih4W0PuxO_Interm%C3%A9diaire-2021-09-08.png

Nous y voyons : les 6 carrés rouges, au niveau des faces : donc le cube ; les 8 triangles verts en face des sommets : donc un octaèdre ; et les 12 rectangles jaunes, faces aux arêtes : donc des tranches d'espace ...

Ainsi que 2 plans tracés : un pour un triangle vert et un pour un rectangle jaune.

La figure est faite avec un cube de côté 2 a = 20 (ici a=10), les équations des 2 plans permettent de trouver rapidement que :
1) l'octaèdre contenant les 8 triangles verts a pour équation : abs(x)+abs(y)+abs(z) = a + 2e. Où e est le paramètre de variation entre 0 et a !
2) les 6 tranches d'espace des rectangles jaunes ont pour équations : abs(x-y) = a+e, abs(x+y) = a+e, abs(y-z) = a+e, abs(y+z) = a+e, abs(z-x) = a+e et abs(z+x) = a+e.
3) enfin les carrés rouges ont pour équations : abs(x) = a, abs(y) = a et abs(z) = a.

Voilà donc 1 + 6 + 3 = 10 équations, à rassembler en une, avec max de "Mapple" !

Chttps://www.cjoint.com/doc/21_09/KIimKt6fKDO_Programme-octa-vers-cube-dual-2021-09-08.pngnne le programme "Mapple" :

KIimKt6fKDO_Programme-octa-vers-cube-dual-2021-09-08.png

Et voici une série d'images, de e = 0 donnant un octaèdre surface (et non plein), jusqu'à e = 10 donnant le cube !
En passant par e = 4 donnant le rhombicuboctaèdre ...

KIioKJyIv0O_Octa-vers-cube-2021-09-08.png

Evidement, c'est en sens contraire de ce qui est dans "Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures"...

Voilà, vous avez ainsi vu une autre façon de combiner des équations, avec la fonction max !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (08-09-2021 14:40:27)

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