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#1 25-07-2021 10:41:00

eric1
Membre
Lieu : Benin
Inscription : 13-02-2021
Messages : 10

Inégalités trigonométriques

Bonjour.
S'il vous plaît,peut on montrer que pour tout x positif,sin(x)<x!??
De même,tan(x)>x pour 0<x<π/2 et enfin
Sin(x)>2x/π pour 0<x<π/2.
Si oui,aidez moi à trouver une méthode et peut être un plan détaillé de démonstration.
Merci beaucoup d'avance

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#2 25-07-2021 13:25:02

Romaiys
Membre
Inscription : 16-12-2019
Messages : 22

Re : Inégalités trigonométriques

Bonjour,

Peut-être passer par des études de fonctions avec étude de la dérivée.
C'est la méthode sûrement la plus simple à effectuer dans ce cas.

Romain.

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#3 25-07-2021 13:35:34

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Inégalités trigonométriques

Re,

@eric1

pour tout x positif, sin(x)<x!

$x=\frac{5\pi}{6}$ est bien positif, n'est-ce pas ?
Alors, donne-moi la valeur de $\left(\frac{5\pi}{6}\right)!$  ...


@+


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#4 25-07-2021 13:43:11

eric1
Membre
Lieu : Benin
Inscription : 13-02-2021
Messages : 10

Re : Inégalités trigonométriques

@yoshi

On peut prendre 2,62 en considérant que π=3,14 et en faisant un arrondi à la dizaine près.
Pourquoi !?

Dernière modification par eric1 (25-07-2021 13:48:52)

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#5 25-07-2021 13:46:38

eric1
Membre
Lieu : Benin
Inscription : 13-02-2021
Messages : 10

Re : Inégalités trigonométriques

@Romain
Puis je avoir un plan de démonstration détaillé s'il vous plaît !?
Parceque pour la dérivé,la fonction cosinus intervient et elle n'est pas triviale non plus

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#6 25-07-2021 13:56:59

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Inégalités trigonométriques

Re,

Des fois que ma mémoire me joue des tours, j'ai vérifié devant ton imperturbable assurance :
n! (factorielle n) est définie comme $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1$ avec n entier naturel, et on admet que 0!=1

Mais donc, comment calcules-tu n! avec $n!=\frac {5\pi}{6}$, n qui n'est pas un entier naturel ?
Tu joues avec les arrondis ? Et de quel droit ?
Pour moi, et les définitions que j'ai lues, n doit être un entier naturel...

@+


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#7 25-07-2021 15:24:41

eric1
Membre
Lieu : Benin
Inscription : 13-02-2021
Messages : 10

Re : Inégalités trigonométriques

@yoshi
Je crois que je suis embrouillé là.
Tout ce que je veux,c'est une aide.Pas de complication.
Sans vouloir vous verxer.
J'ai bien préciser au début que x est un réel.Je ne vois pas d'où vous sortez les entiers naturels et les factorielles??

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#8 25-07-2021 16:32:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Inégalités trigonométriques

Bonsoir,

pour tout x positif,sin(x)<x!??

Ce n'est pas moi qui ait écrit x!... factorielle x
Ton ! faisait partie de ta ponctuation ?
Ah, bin ce n'est pas comme ça que je je l'avais pris...
Il faut faire attention à ta rédaction...
Dans ce cas, pour la première question,j'ai une idée, il faut que je la précise..

Eric1 a écrit :

J'ai bien préciser au début que x est un réel

Absolument pas :

Eric1 a écrit :

S'il vous plaît,peut on montrer que pour tout x positif,sin(x)<x!??
De même,tan(x)>x pour 0<x<π/2 et enfin
Sin(x)>2x/π pour 0<x<π/2.

positif, oui mais réel, non, ne figure pas dans ton texte. !
$x \in \mathbb R^+$ ou $x \in \mathbb R^{*+}$ ?

@+


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#9 25-07-2021 17:20:09

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Inégalités trigonométriques

Re,

J'opte pour $x$ réel strictement positif.

Soit f tel que $f(x)=\sin(x)-x$
$f'(x)=\cos(x)-1$
Or $\forall x \in \mathbb R$, $\cos(x)\leqslant 1$, donc $\forall x \in \mathbb R^{*+},\;\cos(x)\leqslant 1$ et $cos(x)-1\leqslant 0$
La dérivée est nulle pour x =0 et négative ensuite
Sur $]0\,;\,+\infty[$, la dérivée est strictement négative, en particulier sur $]0\,;\,2\pi[$
Donc, f est strictement décroissante et comme pour x=0, f(0)=0...

@+

[EDIT]
Pour la tangente
Travailler avec f telle que $f(x)=tan(x)-x$
Calculer sa dérivée, chercher son signe. En déduire le sens de variation de f sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$ puis sur $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$
Sachant que f(0)=0, en déduire ensuite le signe de $tan(x)-x$ sur l'intervalle ouvert. Conclure.

Dernière modification par yoshi (25-07-2021 17:33:44)


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#10 26-07-2021 19:25:22

eric1
Membre
Lieu : Benin
Inscription : 13-02-2021
Messages : 10

Re : Inégalités trigonométriques

@yoshi
D'accord.
Maintenant onse comprends parfaitement.
Je m'excuse de ne pas avoir été plus précis.
Merci pour le plan détaillé.
Suis vraiment ravi

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#11 26-07-2021 19:26:36

eric1
Membre
Lieu : Benin
Inscription : 13-02-2021
Messages : 10

Re : Inégalités trigonométriques

@yoshi
Pour la troisième inégalité,veillez m'aider

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#12 27-07-2021 07:55:54

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Inégalités trigonométriques

Bonjour,

T'aider oui, faire le bulot à ta place, non : je n'en ai déjà que trop fait. Mais j'étais ennuyé de ne pas avoir vu tout de suite qu'il fallait lire  n!?? comme étant n !??...
Le plan est le même : via la dérivée de f telle que $f(x)=sin(x)-\frac{2x}{\pi}$, montrer que f est toujours strictement positive sur $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$.
Il y a une petite variation par rapport aux deux exercices précédents (pas une difficulté, une variation !).
Réfléchis et reviens avec ta solution !

@+


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#13 19-08-2021 09:05:05

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Inégalités trigonométriques

Bonjour,

Heureusement encore que ( à ma connaissance )  "?" et pire "??" ne sont pas des opérateurs sinon ça deviendrait compliqué :-) ...
Par-contre !! existe ( ne pas confondre avec la composée de factorielles, qui impose des parenthèses) et est  pas mal utilisé en combinatoire.
Si hein=17  , cela ne  devient-il pas  bordélique hein!!???


Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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