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#1 28-07-2021 22:06:42

Lahitte
Invité

exercice preprépa

Bonsoir je vais rentré en prepa PTSI l'année prochaine, je bloque sur un exercice proposé comme "devoir de vacance".
l'énoncé:
Démontrer que pour tout entier naturel n on a

[tex]ln(n!)\leq\frac{(n)\times(n-1)}{2}[/tex]

Je suis bloqué, la réponse me vient facilement si on a plutôt

[tex]ln(n!)\leq\frac{(n)\times(n+1)}{2}[/tex]

Autrement ça ne me vient pas
Si quelqu'un pourrait m'aider ce serai super !
Merci.

#2 29-07-2021 06:46:45

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 273

Re : exercice preprépa

Bonjour,

On peut y arriver par récurrence.

Suppose que ln(n!) <= n*(n-1)/2 est vraie pour une certaine valeur k de n

et montre que c'est encore vrai pour n = k+1
...

ln(k!) <= k*(k-1)/2
ln(k!) + ln(k+1) <= k*(k-1)/2 + ln(k+1)
ln((k+1)!) <= k*(k-1)/2 + ln(k+1)

Montre que ln(k+1) <= k
et ...

Hors ligne

#3 09-08-2021 15:57:48

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : exercice preprépa

Bonjour,

C'est la somme S des ln (k) , k variant de 2 à n ( car ln(1) = 0 ).
Or ln( k) est toujours plus petit que k-1.
Il suffit donc de sommer les (k-1), pour k variant de 2 à n, pour avoir un majorant de S.
C'est aussi la somme des k pour k variant de 1 à n-1, égale n(n-1)/2...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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