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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 29-07-2021 00:06:42
- Lahitte
- Invité
exercice preprépa
Bonsoir je vais rentré en prepa PTSI l'année prochaine, je bloque sur un exercice proposé comme "devoir de vacance".
l'énoncé:
Démontrer que pour tout entier naturel n on a
[tex]ln(n!)\leq\frac{(n)\times(n-1)}{2}[/tex]
Je suis bloqué, la réponse me vient facilement si on a plutôt
[tex]ln(n!)\leq\frac{(n)\times(n+1)}{2}[/tex]
Autrement ça ne me vient pas
Si quelqu'un pourrait m'aider ce serai super !
Merci.
#2 29-07-2021 08:46:45
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : exercice preprépa
Bonjour,
On peut y arriver par récurrence.
Suppose que ln(n!) <= n*(n-1)/2 est vraie pour une certaine valeur k de n
et montre que c'est encore vrai pour n = k+1
...
ln(k!) <= k*(k-1)/2
ln(k!) + ln(k+1) <= k*(k-1)/2 + ln(k+1)
ln((k+1)!) <= k*(k-1)/2 + ln(k+1)
Montre que ln(k+1) <= k
et ...
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#3 09-08-2021 17:57:48
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 302
Re : exercice preprépa
Bonjour,
C'est la somme S des ln (k) , k variant de 2 à n ( car ln(1) = 0 ).
Or ln( k) est toujours plus petit que k-1.
Il suffit donc de sommer les (k-1), pour k variant de 2 à n, pour avoir un majorant de S.
C'est aussi la somme des k pour k variant de 1 à n-1, égale n(n-1)/2...
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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