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#1 24-07-2021 21:15:50

Mathyeux
Membre
Inscription : 18-04-2021
Messages : 19

Borne sup non atteinte

Soit A une partie de R majorée et on note M=supA. On suppose que M∉A. Démontrer que, pour tout ε>0, l'intervalle ]M−ε,M[ contient une infinité d'éléments de A.

Voila ce que je propose:
en utilisant la caractérisation du sup par les epsilon, on a $\forall \veps>0,\ \exists x\in A,\ x\geq M-\veps$ avec M la borne sup de A. Or epsilon est un réel fixe, il y a donc toujours possibilité de le faire plus petit, par exemple en le divisant par 10. On aura alors  M-$\veps$/10 un réel qui est à la fois compris dans ]M−ε,M[ (puisque epsilon/10 est non nul et plus petit que l'epsilon décrivant l'intervalle) et dans A car la caractérisation de la borne sup s'applique pour tout epsilon positif. On a donc montré que quel que soit epsilon reel positif, il y a toujours moyen de placer un réel de A dans l'intervalle, donc cet intervalle contient une infinité d'éléments de A

J'aimerais savoir si ma proposition de démonstration tient la route...

Merci d'avance

Mathieu

Hors ligne

#2 25-07-2021 17:35:25

Paco del Rey
Invité

Re : Borne sup non atteinte

Je corrige :

Bonsoir Mathyeux.

L'idée est bonne. La rédaction laisse à désirer.

Tu vas construire deux suites [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] et [tex](\epsilon_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] telles que
[tex]\epsilon_0=\epsilon[/tex]
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex],  [tex]a_n\in A[/tex],
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex], [tex]M-\epsilon_{n+1} < a_{n+1} < M-\epsilon_{n} < a_{n} < M [/tex],
[tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] est strictement croissante.

Paco del Rey

#3 25-07-2021 17:48:14

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 257

Re : Borne sup non atteinte

Bonsoir,
autre idée : raisonner par l'absurde en partant de la supposition qu'à $\varepsilon$ fixé l'intervalle ]M−ε,M[ contient un nombre fini d'éléments de A, pour aboutir à une contradiction.
En posant $x_m$ le plus grand de ces éléments de ]M−ε,M[, on a : $\exists \varepsilon'>0, \forall  x\in A,\ x\lt x_m \lt M-\varepsilon'$, ce qui contredit une caractérisation du Sup, car l'ensemble ]M−ε',M[ ne contient pas d'éléments de A

Dernière modification par Zebulor (27-07-2021 07:55:22)


Les maths c'est plus facile quand on connaît la réponse.

Hors ligne

#4 25-07-2021 21:01:36

Mathyeux
Membre
Inscription : 18-04-2021
Messages : 19

Re : Borne sup non atteinte

Bonsoir et merci pour vos réponses

Paco del Rey j'ai du mal à comprendre ta proposition, notamment cette partie où tu dis que $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ est strictement croissante mais que tu dis aussi $ a_{n+1} < M-\epsilon_{n} < a_{n}$, ce qui défini $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ comme décroissante. Mais même sans cela je ne comprends pas en quoi cela démontre que ]M−ε,M[ contient un nombre infini d'éléments de A.


Mathieu

Hors ligne

#5 26-07-2021 08:25:17

Paco del Rey
Invité

Re : Borne sup non atteinte

Tu as raison.

Je corrige ma correction (j'ai inversé les indices):

Tu vas construire par récurrence deux suites [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] et [tex](\epsilon_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] telles que
[tex]\epsilon_0=\epsilon[/tex]
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex],  [tex]a_n\in A[/tex],
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex], [tex]M-\epsilon_{n} < a_{n} < M-\epsilon_{n+1} < a_{n+1} < M [/tex].

La suite [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] est strictement croissante, donc injective. Son image est

de même cardinal que [tex]\mathbb N[/tex]
incluse dans [tex]A[/tex]

On trouve donc dans [tex]A[/tex] une partie infinie (l'image de la suite [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex]).

Paco.

#6 27-07-2021 19:33:29

Mathyeux
Membre
Inscription : 18-04-2021
Messages : 19

Re : Borne sup non atteinte

C'est plus clair merci!

bonne soirée

Mathieu

Hors ligne

#7 09-08-2021 15:18:06

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Borne sup non atteinte

Bonjour,

On peut dire aussi sous un angle plus topologique que M est un point adhérent à A, qui n'appartient pas à A, donc un point d'accumulation de A.
Tout voisinage V de M, donc en fait tout voisinage  à gauche de M (puisque à droite son intersection avec A est vide )
contient donc une infinité d'éléments de A.
C'est blanc bonnet et bonnet blanc.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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