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#1 27-07-2021 18:31:10

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Limites : formes indéterminées

Bonjour à tous et à toutes
J'ai un problème de maths que j'arrive pas à résoudre

Lim             ( sin(πcosx) −1)/3x−π
X->π/3
En essayant de calculer la limite je tombe évidement sur une forme indéterminée que je n'arrive pas à lever.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Merci d'avance

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#2 27-07-2021 19:04:06

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Limites : formes indéterminées

Bonsoir

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}  \dfrac{\sin(\pi\cos x) −1}{3x−\pi}$

            ou

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}  \dfrac{\sin(\pi\cos x) −1}{3x}-\pi$ ?

Logiquement, le 1er cas...

@+

Dernière modification par yoshi (27-07-2021 19:38:11)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 27-07-2021 19:43:08

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

Excusez-moi il s'agit bien du 1er cas 1er cas

Lim             ( sin(πcosx) −1)/(3x−π)
X->π/3

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#4 27-07-2021 20:06:48

Paco del Rey
Invité

Re : Limites : formes indéterminées

Bonsoir Tom.

Peux-tu calculer la dérivée de [tex]x \mapsto \sin(\pi \cos x)[/tex] ?

Paco

#5 27-07-2021 20:25:14

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 257

Re : Limites : formes indéterminées

Bonsoir,
je ferais un changement de variable en posant $x=\frac {\pi}{3}+h$ de sorte à te retrouver avec une limite d'une fraction $g(h)$ lorsque $h$ tend vers 0.
La "difficulté" principale selon moi est alors de trouver un équivalent simple de $cos(\frac {\pi}{3}+h)$ lorsque h tend vers 0, mais ça se fait...
EDIT : pris de vitesse par Paco qui propose une autre méthode...

Dernière modification par Zebulor (27-07-2021 20:26:28)


Les maths c'est plus facile quand on connaît la réponse.

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#6 27-07-2021 21:06:44

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

Ça donne
π.(−sin(x)).cos(π.cos(x))
Si je me trompe pas

Comment poursuivre à partir de là

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#7 28-07-2021 07:52:21

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 1 257

Re : Limites : formes indéterminées

Bonjour,

Tom 832 a écrit :

Ça donne
π.(−sin(x)).cos(π.cos(x))
Si je me trompe pas

Comment poursuivre à partir de là

@Tom : jette un coup d'oeil là dessus :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … pital.html

Dernière modification par Zebulor (28-07-2021 08:01:34)


Les maths c'est plus facile quand on connaît la réponse.

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#8 28-07-2021 08:54:45

Paco del Rey
Invité

Re : Limites : formes indéterminées

Bonjour Tom.

Lorsque tu reviens à la définition du nombre dérivé d'une fonction [tex]f[/tex] en un point [tex]a[/tex], tu trouves que
[tex]f'(a) = \lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex].
C'est, à un facteur près, la limite que tu cherches.

Sinon le changement de variable indiqué par Zébulor (que je salue), c'est la règle d'hygiène du calcul des limites ailleurs qu'en zéro.
Paco.

#9 28-07-2021 10:12:49

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 273

Re : Limites : formes indéterminées

Bonjour,

Dans le supérieur, on devrait connaître la règle du génial Marquis de Lhospital qui donne la solution instantanément (ou presque).

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#10 28-07-2021 18:54:39

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

Salut
Merci beaucoup à vous avec l'hospital ça marche
Un grand merci je ne pensais pas trouver un tel soutien ici

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#11 28-07-2021 19:18:42

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

J'ai juste une dernière question : limites

( je fais génie mécanique 1ère année) Le prof nous a demandé de calculer une limite pour demain.
Lim  ((e)^x - x - 1)/(x^2)
X->0
Avec l'hospital ça marche et on trouve 1/2 . Mais le prof demande de calculer sans cette méthode ( par une démarche  simple )auriez-vous une autre méthode de calcul s'il vous plaît.
Merci d'avance

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#12 28-07-2021 20:04:33

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Limites : formes indéterminées

Re,

Peut-être avec les développements limités.
Au voisinage de zéro le DL de $e^x$ à l'ordre 2 est $1+x+\frac{x^2}{2!}$
Un équivalent du numérateur est
$e^x -x -1 \sim 1+x+\frac{x^2}{2}-x-1=\frac{x^2}{2}$
Donc celui du quotient est :
$\dfrac{e^x -x -1}{x^2} \sim \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2}$...
Jette un coup d’œil là-dessus :
http://www.bibmath.net/ressources/index … s/dls.html

Il y a bien longtemps que je n'ai pas utilisé les DL, si j'ai été imprécis, alors précisez davantage !

A l'ordre 3 :
le DL de $e^x$ à l'ordre 2 est $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$
Et on arrive à
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x -x -1}{x^2} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \frac 1 2+\frac x 6$ 
Et comme $\lim\limits_{x\to 0}\frac x 6 =0$....
C'est peut-être plus sérieux d'aller jusqu'à l'ordre 3..
Pousser plus loin est inutile (les limites 0 s'enchaîneraient)...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#13 28-07-2021 21:00:25

Paco del Rey
Invité

Re : Limites : formes indéterminées

@ yoshi.

L'écriture [tex]e^x−x−1\sim 1+x+\frac{x^2}2−x−1=\frac{x^2}2[/tex] donne l'impression que tu utilises une somme d'équivalents ce qui est hautement suspect. Il vaut mieux écrire des sommes de développements limités (l'ordre 2 suffit par ailleurs).

Si on veut éviter les développements limités et le théorème du Divin Marquis, on peut utiliser la fonction [tex]g:x\neq0 \mapsto \dfrac{e^x−x−1}x[/tex] prolongée par [tex]g(0)=0[/tex], mais on tombe sur d'autres difficultés (théorème de prolongement [tex]C^1[/tex]).

Paco

#14 28-07-2021 23:18:32

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

Salut Merci beaucoup pour vos indications.Vos réponses m'ont beaucoup aidé. Je vais essayer
Mais juste au cas où: est-ce qu'il existe une autre méthode ?

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#15 29-07-2021 08:25:46

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

J'y arrive avec le développement limité mais nous ne sommes pas encore arrivés à cette méthode de résolution je doute que le prof l'autorise. Connaissez-vous une méthode classique simple s'il vous plaît?
Merci d'avance

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#16 29-07-2021 08:39:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 945

Re : Limites : formes indéterminées

Bonjour,

@Paco

L'écriture [tex]e^x−x−1\sim 1+x+\frac{x^2}{2!}−x−1=\frac{x^2}2[/tex] donne l'impression que tu utilises une somme d'équivalents ce qui est hautement suspect. Il vaut mieux écrire des sommes de développements limités (l'ordre 2 suffit par ailleurs)..

Ok ! Voudrais-tu bien en donner une écriture non "hautement suspecte"
Déjà, je pense que j'aurais dû ajouter le o.
Je ne ne l'ai pas fait parce que j'ignore quel niveau d'exigence théorique on a en "Génie électrique"...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#17 29-07-2021 12:03:59

Paco del Rey
Invité

Re : Limites : formes indéterminées

Effectivement,

tu peux écrire un développement limité à l'ordre 2:
[tex]e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}2 + o(x^2)[/tex] donc
[tex]e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}2 + o(x^2)[/tex] et en particulier
[tex]e^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}2 [/tex].

Sinon, pour résoudre le problème de Tom de façon élémentaire, il est possible de travailler par encadrements, par exemple
[tex]\forall x \in[0,1], \; 1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6 \leq \exp(x) \leq 1+x+\dfrac{x^2}2+e\dfrac{x^3}6[/tex]
et
[tex]\forall x \in]-\infty,0], \; 1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6 \leq \exp(x) \leq 1+x+\dfrac{x^2}2[/tex].
On obtient ces inégalités par des études de fonctions.

Élémentaire ne signifie pas simple...

Paco

#18 29-07-2021 21:45:44

Tom 832
Membre
Inscription : 27-07-2021
Messages : 9

Re : Limites : formes indéterminées

Bonsoir.
Merci à tout le monde vous m'avez bien guidé. Le fait d'aider les gens dans les forums à ses réalités et ne voudrais manquer de reconnaissance.
Un grand merci à vous. Soyez BÉNIS

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